A partir da tabela a seguir, referente à função , e usando polinômios de Newton:
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de para alguns pontos de . Vamos usar polinômios de Newton para interpolar os valores de e . Para isso, precisamos entender como construir o polinômio de Newton usando os dados da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): interpolar usando um polinômio de grau 4. Isso significa que vamos usar os 5 pontos disponíveis na tabela para construir nosso polinômio.

Passo 3

Para construir o polinômio de Newton, precisamos calcular as diferenças divididas. Vou montar uma tabela com os valores de e , e depois calcular essas diferenças passo a passo.

Passo 4

Aqui está a tabela com as diferenças divididas:

Passo 5

Agora, vamos construir o polinômio usando essas diferenças divididas. O polinômio de Newton fica assim:

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:

Passo 7

Fazendo as contas passo a passo, chegamos ao valor interpolado de .

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): interpolar usando um polinômio quadrático (grau 2). Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir nosso polinômio.

Passo 9

Escolheremos os pontos mais próximos de , que são , e .

Passo 10

Vamos novamente calcular as diferenças divididas para esses três pontos.

Passo 11

A tabela de diferenças divididas para esses pontos fica assim:

Passo 12

Construímos o polinômio quadrático de Newton usando esses valores:

Passo 13

Substituindo os valores:

Passo 14

Calculando passo a passo, obtemos o valor interpolado de .

Resposta

A interpolação de usando um polinômio quadrático resulta em aproximadamente 0.2474.

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Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto 1500 1250 1000 750 500
distância do alvo 35 25 15 10 7
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).
Encontre uma aproximação para por spline cúbica interpolante da tabela:
0 0.5 1.0 1.5 2.0
3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: