A partir da tabela a seguir, referente à função f(x)=sen(x), e usando polinômios de Newton:
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 0 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen (0.25) usando um polinômio quadrático.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de para alguns pontos de . Vamos usar polinômios de Newton para interpolar os valores de e . Para isso, precisamos entender como construir o polinômio de Newton usando os dados da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): interpolar usando um polinômio de grau 4. Isso significa que vamos usar os 5 pontos disponíveis na tabela para construir nosso polinômio.

Passo 3

Para construir o polinômio de Newton, precisamos calcular as diferenças divididas. Vou montar uma tabela com os valores de e , e depois calcular essas diferenças passo a passo.

Passo 4

Aqui está a tabela com as diferenças divididas:
c|c|c|c|c|c x & f(x) & De

Passo 5

Agora, vamos construir o polinômio usando essas diferenças divididas. O polinômio de Newton fica assim:
P4(x) = f(x0) + De

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:
P4(0.0625) = 0 + 0.09983 cdot (0.0625 - 0) + 0.000183 cdot (0.0625)(0.0625 - 0.1) + dots

Passo 7

Fazendo as contas passo a passo, chegamos ao valor interpolado de .

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): interpolar usando um polinômio quadrático (grau 2). Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir nosso polinômio.

Passo 9

Escolheremos os pontos mais próximos de , que são , e .

Passo 10

Vamos novamente calcular as diferenças divididas para esses três pontos.

Passo 11

A tabela de diferenças divididas para esses pontos fica assim:
c|c|c|c x & f(x) & De

Passo 12

Construímos o polinômio quadrático de Newton usando esses valores:
P2(x) = f(x0) + De

Passo 13

Substituindo os valores:
P2(0.25) = 0.19867 + 0.09685 cdot (0.25 - 0.2) + dots

Passo 14

Calculando passo a passo, obtemos o valor interpolado de .

Resposta

A interpolação de usando um polinômio quadrático resulta em aproximadamente 0.2474.

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