A partir da tabela a seguir, referente à função
, e usando polinômios de Newton:
|
0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0 | 0.09983 | 0.19867 | 0.29552 | 0.38942 |
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.
b) interpole sen
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de
para alguns pontos de
. Vamos usar polinômios de Newton para interpolar os valores de
e
. Para isso, precisamos entender como construir o polinômio de Newton usando os dados da tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): interpolar
usando um polinômio de grau 4. Isso significa que vamos usar os 5 pontos disponíveis na tabela para construir nosso polinômio.
Passo 3
Para construir o polinômio de Newton, precisamos calcular as diferenças divididas. Vou montar uma tabela com os valores de
e
, e depois calcular essas diferenças passo a passo.
Passo 4
Aqui está a tabela com as diferenças divididas:
Passo 5
Agora, vamos construir o polinômio usando essas diferenças divididas. O polinômio de Newton fica assim:
Passo 6
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Fazendo as contas passo a passo, chegamos ao valor interpolado de
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): interpolar
usando um polinômio quadrático (grau 2). Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir nosso polinômio.
Passo 9
Escolheremos os pontos mais próximos de
, que são
,
e
.
Passo 10
Vamos novamente calcular as diferenças divididas para esses três pontos.
Passo 11
A tabela de diferenças divididas para esses pontos fica assim:
Passo 12
Construímos o polinômio quadrático de Newton usando esses valores:
Passo 13
Substituindo os valores:
Passo 14
Calculando passo a passo, obtemos o valor interpolado de
.
Resposta
A interpolação de
usando um polinômio quadrático resulta em aproximadamente 0.2474.