A partir da tabela a seguir, referente à função
, e usando polinômios de Newton:
|
0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0 | 0.09983 | 0.19867 | 0.29552 | 0.38942 |
a) interpole sen( 0.0625 ) usando um polinômio de grau 4.
b) interpole sen usando um polinômio quadrático.
b) interpole sen
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de
para alguns pontos de
. Vamos usar polinômios de Newton para interpolar os valores de
e
. Para isso, precisamos entender como construir o polinômio de Newton usando os dados da tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): interpolar
usando um polinômio de grau 4. Isso significa que vamos usar os 5 pontos disponíveis na tabela para construir nosso polinômio.
Passo 3
Para construir o polinômio de Newton, precisamos calcular as diferenças divididas. Vou montar uma tabela com os valores de
e
, e depois calcular essas diferenças passo a passo.
Passo 4
Aqui está a tabela com as diferenças divididas:
Passo 5
Agora, vamos construir o polinômio usando essas diferenças divididas. O polinômio de Newton fica assim:
Passo 6
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Fazendo as contas passo a passo, chegamos ao valor interpolado de
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): interpolar
usando um polinômio quadrático (grau 2). Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir nosso polinômio.
Passo 9
Escolheremos os pontos mais próximos de
, que são
,
e
.
Passo 10
Vamos novamente calcular as diferenças divididas para esses três pontos.
Passo 11
A tabela de diferenças divididas para esses pontos fica assim:
Passo 12
Construímos o polinômio quadrático de Newton usando esses valores:
Passo 13
Substituindo os valores:
Passo 14
Calculando passo a passo, obtemos o valor interpolado de
.
Resposta
A interpolação de
usando um polinômio quadrático resulta em aproximadamente 0.2474.
Exercícios relacionados
Dados os valores funcionais da função
, calcule
por meio de um spline interpolante cúbico.
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1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
---|---|---|---|---|---|
|
1 |
|
0.5 |
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Um paraquedista realizou 6 saltos, de 6 alturas distintas. A precisão de seus saltos foi avaliada em relação a um determinado ponto, marcado no chão com um X. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa ao centro do X :
altura do salto
|
1500 | 1250 | 1000 | 750 | 500 |
---|---|---|---|---|---|
distância do alvo
|
35 | 25 | 15 | 10 | 7 |
Considerando os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 800 m ? (use interpolação por polinômios de Gregory Newton).
Encontre uma aproximação para
por spline cúbica interpolante da tabela:
|
0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
---|---|---|---|---|---|
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3 | 1.8616 | -0.5571 | -4.1987 | -9.0536 |
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: