Deduza a expressão integrada da cinética de segunda ordem para uma reação com a estequiometria .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a expressão integrada da cinética de segunda ordem para a reação , onde a velocidade da reação é dada por . Isso significa que a taxa de reação depende das concentrações de A e B. Para resolver, vamos precisar entender como as concentrações de A e B mudam ao longo do tempo e aplicar conceitos de cinética química.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da reação ( ) está relacionada com a derivada das concentrações das reagentes em relação ao tempo. Para essa reação, temos:
Aqui, os coeficientes estequiométricos (2 para A e 3 para B) são usados para relacionar as mudanças nas concentrações.

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar a relação entre as concentrações de A e B. Como para cada 2 moléculas de A, 3 moléculas de B reagem, podemos expressar , assumindo que a reação começa com as concentrações e .

Passo 4

Para simplificar, vamos assumir que (isto é, as concentrações iniciais são iguais). Assim, a relação entre e se torna linear e podemos integrar a equação de taxa facilmente.

Passo 5

Com , a velocidade fica . Agora, temos uma equação diferencial para uma reação de segunda ordem em A, que é mais simples de integrar. A equação diferencial é:

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando as condições iniciais ( , ), encontramos que . Substituindo de volta, temos:

Passo 8

Simplificando a equação, ficamos com:
Essa é a expressão integrada da cinética de segunda ordem para a reação dada, assumindo concentrações iniciais iguais.

Resposta

A expressão integrada da cinética de segunda ordem para a reação é:

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