Deduza a expressão integrada da cinética de segunda ordem
para uma reação com a estequiometria
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a expressão integrada da cinética de segunda ordem para a reação
, onde a velocidade da reação é dada por
. Isso significa que a taxa de reação depende das concentrações de A e B. Para resolver, vamos precisar entender como as concentrações de A e B mudam ao longo do tempo e aplicar conceitos de cinética química.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da reação (
) está relacionada com a derivada das concentrações das reagentes em relação ao tempo. Para essa reação, temos:
Aqui, os coeficientes estequiométricos (2 para A e 3 para B) são usados para relacionar as mudanças nas concentrações.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos usar a relação entre as concentrações de A e B. Como para cada 2 moléculas de A, 3 moléculas de B reagem, podemos expressar
, assumindo que a reação começa com as concentrações
e
.
Passo 4
Para simplificar, vamos assumir que
(isto é, as concentrações iniciais são iguais). Assim, a relação entre
e
se torna linear e podemos integrar a equação de taxa facilmente.
Passo 5
Com
, a velocidade fica
. Agora, temos uma equação diferencial para uma reação de segunda ordem em A, que é mais simples de integrar. A equação diferencial é:
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando as condições iniciais (
,
), encontramos que
. Substituindo de volta, temos:
Passo 8
Simplificando a equação, ficamos com:
Essa é a expressão integrada da cinética de segunda ordem para a reação dada, assumindo concentrações iniciais iguais.
Resposta
A expressão integrada da cinética de segunda ordem para a reação
é: