O equilibrio é de primeira ordem nos dois sentidos. Deduza a expressão da concentração de A em função do tempo. A concentração molar inicial de A é , e a de B é . Qual a composição final do sistema?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a reação de equilíbrio que é de primeira ordem tanto para a ida quanto para a volta. Nosso objetivo é descobrir como a concentração de A, , muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar as leis das reações de primeira ordem e resolver uma equação diferencial básica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de velocidade para as duas direções da reação. Como a reação é de primeira ordem, a velocidade de ida depende de e a velocidade de volta depende de .
Então:
  • Velocidade da reação direta (A para B):
  • Velocidade da reação reversa (B para A):
Aqui, e são as constantes de velocidade para cada direção.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação que descreve a variação de ao longo do tempo. A taxa de mudança de é dada pela diferença entre a velocidade da reação reversa e a direção direta:
Mas precisamos relacionar com . Como a reação forma 2 mols de B para cada mol de A que reage, podemos escrever:

Passo 4

Substituindo a expressão de na equação anterior, temos:
Vamos simplificar essa equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante. A equação geral é:
Onde:
O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação pela :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Aplicando a condição inicial :
Resolvendo para C:

Passo 6

Agora, isolando , temos:
Essa é a expressão da concentração de A em função do tempo.
Para a composição final do sistema, consideramos o limite quando t tende ao infinito. O termo exponencial vai para zero, então a concentração final de A é:

Resposta

A concentração de A em função do tempo é
E a composição final do sistema é

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