O equilibrio
é de primeira ordem nos dois sentidos. Deduza a expressão da concentração de A em função do tempo. A concentração molar inicial de A é
, e a de B é
. Qual a composição final do sistema?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a reação de equilíbrio
que é de primeira ordem tanto para a ida quanto para a volta. Nosso objetivo é descobrir como a concentração de A,
, muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar as leis das reações de primeira ordem e resolver uma equação diferencial básica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações de velocidade para as duas direções da reação. Como a reação é de primeira ordem, a velocidade de ida depende de
e a velocidade de volta depende de
.
Então:
- Velocidade da reação direta (A para B):
- Velocidade da reação reversa (B para A):
Aqui,
e
são as constantes de velocidade para cada direção.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação que descreve a variação de
ao longo do tempo. A taxa de mudança de
é dada pela diferença entre a velocidade da reação reversa e a direção direta:
Mas precisamos relacionar
com
. Como a reação forma 2 mols de B para cada mol de A que reage, podemos escrever:
Passo 4
Substituindo a expressão de
na equação anterior, temos:
Vamos simplificar essa equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante. A equação geral é:
Onde:
O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Aplicando a condição inicial
:
Resolvendo para C:
Passo 6
Agora, isolando
, temos:
Essa é a expressão da concentração de A em função do tempo.
Para a composição final do sistema, consideramos o limite quando t tende ao infinito. O termo exponencial vai para zero, então a concentração final de A é:
Resposta
A concentração de A em função do tempo é
E a composição final do sistema é