O equilibrio A rightharpoons 2 B é de primeira ordem nos dois sentidos. Deduza a expressão da concentração de A em função do tempo. A concentração molar inicial de A é [A]0, e a de B é [B]0. Qual a composição final do sistema?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a reação de equilíbrio A rightharpoons 2 B que é de primeira ordem tanto para a ida quanto para a volta. Nosso objetivo é descobrir como a concentração de A, [A], muda com o tempo. Para isso, vamos precisar usar as leis das reações de primeira ordem e resolver uma equação diferencial básica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de velocidade para as duas direções da reação. Como a reação é de primeira ordem, a velocidade de ida depende de [A] e a velocidade de volta depende de [B].
Então:
  • Velocidade da reação direta (A para B): vida = kida[A]
  • Velocidade da reação reversa (B para A): vvo
Aqui, kida e kvo são as constantes de velocidade para cada direção.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação que descreve a variação de [A] ao longo do tempo. A taxa de mudança de [A] é dada pela diferença entre a velocidade da reação reversa e a direção direta:
d[A]dt = vvo
Mas precisamos relacionar [B] com [A]. Como a reação forma 2 mols de B para cada mol de A que reage, podemos escrever:
[B] = [B]0 + 2([A]0 - [A])

Passo 4

Substituindo a expressão de [B] na equação anterior, temos:
d[A]dt = kvo
Vamos simplificar essa equação:
d[A]dt = kvo
Agrupando os termos semelhantes:
d[A]dt = kvo

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante. A equação geral é:
d[A]dt + P(t)[A] = Q(t)
Onde:
  • P(t) = 2kvo
  • Q(t) = kvo
O fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^(2kvo
Multiplicando toda a equação pela mu(t):
e^(2kvo
Isso simplifica para:
ddt ( e^(2kvo
Integrando ambos os lados:
e^(2kvo
Onde C é a constante de integração. Aplicando a condição inicial [A](0) = [A]0:
[A]0 = kvo
Resolvendo para C:
C = [A]0 - kvo

Passo 6

Agora, isolando [A], temos:
[A] = kvo
Essa é a expressão da concentração de A em função do tempo.
Para a composição final do sistema, consideramos o limite quando t tende ao infinito. O termo exponencial vai para zero, então a concentração final de A é:
[A]final = kvo

Resposta

A concentração de A em função do tempo é
[A] = kvo
E a composição final do sistema é
[A]final = kvo

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