Deduza a função de iteração no método das cordas.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício que pede para deduzir a função de iteração no método das cordas. Esse método é usado para encontrar raízes de funções, ou seja, resolver equações do tipo . Vamos precisar entender como o método das cordas funciona e quais são os passos para chegar na função que a gente usa para iterar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método das cordas (também conhecido como Método da Corda Secante). Ele é um método numérico para encontrar aproximações sucessivas da raiz de uma função . Diferente do método de Newton-Raphson, que usa a derivada da função, o método das cordas utiliza dois pontos próximos à raiz para formar uma linha secante.

Passo 3

Imagine que a gente tem dois chutes iniciais, e , que são aproximações da raiz. A ideia é pegar esses dois pontos e traçar uma linha reta (a corda) que os conecta. O ponto onde essa corda corta o eixo vai ser a próxima aproximação, .

Passo 4

Para encontrar , a gente precisa da equação da reta secante que passa por e . A equação dessa reta pode ser escrita usando a fórmula da reta que passa por dois pontos:

Passo 5

Queremos encontrar o ponto onde essa reta cruza o eixo , ou seja, onde . Então, substituímos na equação da reta:

Passo 6

Agora, vamos isolar nessa equação. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Finalmente, somamos em ambos os lados para isolar :

Resposta

A função de iteração no método das cordas é dada por:

Exercícios relacionados

Encontre uma raiz aproximada com erro de para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- em
b- em
c- em
A pressão máxima, que um cabo metálico suporta é dada por
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de . Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo , use o método iterativo que não recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a . Use 6 casas decimais nos cálculos.
Agora faça com o método de Newton!
Seja a equação . Complete a tabela .
bisseção Falsa posição Ponto fixo Newton Secante
Dados iniciais <br>
iterações
Seja e . Determine para que o erro ao se aproximar por um polinômio de Taylor de grau seja menor do que no intervalo .