Deduza a função de iteração no método das cordas.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício que pede para deduzir a função de iteração no método das cordas. Esse método é usado para encontrar raízes de funções, ou seja, resolver equações do tipo . Vamos precisar entender como o método das cordas funciona e quais são os passos para chegar na função que a gente usa para iterar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método das cordas (também conhecido como Método da Corda Secante). Ele é um método numérico para encontrar aproximações sucessivas da raiz de uma função . Diferente do método de Newton-Raphson, que usa a derivada da função, o método das cordas utiliza dois pontos próximos à raiz para formar uma linha secante.

Passo 3

Imagine que a gente tem dois chutes iniciais, e , que são aproximações da raiz. A ideia é pegar esses dois pontos e traçar uma linha reta (a corda) que os conecta. O ponto onde essa corda corta o eixo vai ser a próxima aproximação, .

Passo 4

Para encontrar f(xn) = f(xn-1) + f(xn) - f(xn-1)xn - xn-1 (x - xn-1) , a gente precisa da equação da reta secante que passa por e . A equação dessa reta pode ser escrita usando a fórmula da reta que passa por dois pontos:

Passo 5

Queremos encontrar o ponto onde essa reta cruza o eixo 0 = f(xn-1) + f(xn) - f(xn-1)xn - xn-1 (xn+1 - xn-1) , ou seja, onde . Então, substituímos na equação da reta:

Passo 6

Agora, vamos isolar - f(xn-1) = f(xn) - f(xn-1)xn - xn-1 (xn+1 - xn-1) nessa equação. Primeiro, subtraímos xn+1 - xn-1 = - f(xn-1)(xn - xn-1)f(xn) - f(xn-1) de ambos os lados:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Finalmente, somamos xn+1 = xn-1 - f(xn-1)(xn - xn-1)f(xn) - f(xn-1) em ambos os lados para isolar :

Resposta

A função de iteração no método das cordas é dada por:
xn+1 = xn-1 - f(xn-1)(xn - xn-1)f(xn) - f(xn-1)

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