Deduza a função de iteração no método das cordas.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício que pede para deduzir a função de iteração no método das cordas. Esse método é usado para encontrar raízes de funções, ou seja, resolver equações do tipo
. Vamos precisar entender como o método das cordas funciona e quais são os passos para chegar na função que a gente usa para iterar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método das cordas (também conhecido como Método da Corda Secante). Ele é um método numérico para encontrar aproximações sucessivas da raiz de uma função
. Diferente do método de Newton-Raphson, que usa a derivada da função, o método das cordas utiliza dois pontos próximos à raiz para formar uma linha secante.
Passo 3
Imagine que a gente tem dois chutes iniciais,
e
, que são aproximações da raiz. A ideia é pegar esses dois pontos e traçar uma linha reta (a corda) que os conecta. O ponto onde essa corda corta o eixo
vai ser a próxima aproximação,
.
Passo 4
Para encontrar
, a gente precisa da equação da reta secante que passa por
e
. A equação dessa reta pode ser escrita usando a fórmula da reta que passa por dois pontos:
Passo 5
Queremos encontrar o ponto onde essa reta cruza o eixo
, ou seja, onde
. Então, substituímos
na equação da reta:
Passo 6
Agora, vamos isolar
nessa equação. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Finalmente, somamos
em ambos os lados para isolar
:
Resposta
A função de iteração no método das cordas é dada por:
Exercícios relacionados
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- em
b- em
c- em
a-
b-
c-
A pressão máxima,
que um cabo metálico suporta é dada por
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de
. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo
, use o método iterativo que não recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a
. Use 6 casas decimais nos cálculos.
Agora faça com o método de Newton!
Agora faça com o método de Newton!
Seja a equação
. Complete a tabela
.
bisseção | Falsa posição | Ponto fixo | Newton | Secante | |
---|---|---|---|---|---|
Dados iniciais |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|||||
|
Seja
e
. Determine
para que o erro ao se aproximar
por um polinômio de Taylor de grau
seja menor do que
no intervalo
.