Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a-
em
b-
em
c-
em
a-
b-
c-
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma raiz aproximada com erro de
usando o método do ponto fixo. O método do ponto fixo é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações da forma
. A gente vai precisar reescrever cada função dada na forma
e depois iterar para encontrar a raiz dentro do intervalo especificado.
Passo 2
Parte a: Vamos começar com
no intervalo
.
Primeiro, precisamos reescrever a equação
na forma
. Podemos fazer isso isolando
:
Então, nossa função de iteração será:
Passo 3
Agora, vamos escolher um valor inicial dentro do intervalo, digamos
. Vamos aplicar a iteração:
Passo 4
Continuamos o processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
:
Verificamos o erro:
Passo 5
Repetimos as iterações:
Erro:
Passo 6
Mais uma iteração:
Erro:
Passo 7
Última iteração para alcançar o erro desejado:
Erro:
Passo 8
Agora, vamos resolver a parte b:
no intervalo
.
Primeiro, reescrevemos a equação
na forma
. Podemos isolar
de várias maneiras, mas uma escolha conveniente é:
Então, nossa função de iteração será:
Passo 9
Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo, por exemplo,
. Aplicamos a iteração:
Passo 10
Verificamos se
está dentro do intervalo
. Vemos que
não está, então precisamos escolher uma outra forma para
que mantenha as iterações dentro do intervalo.
Uma alternativa é:
Então, atualizamos nossa função de iteração para:
Passo 11
Usamos o valor inicial
novamente:
Passo 12
Continuamos a iteração:
Erro:
Passo 13
Próxima iteração:
Erro:
Passo 14
Continuamos:
Erro:
Passo 15
Mais uma iteração:
Erro:
Passo 16
E assim por diante, continuando as iterações até que o erro seja menor que
.
Passo 17
Por último, vamos resolver a parte c:
no intervalo
.
Reescrevemos
na forma
:
Então, nossa função de iteração será:
Passo 18
Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo, como
. Aplicamos a iteração:
Passo 19
Continuamos a iteração:
Erro:
Passo 20
Mais uma iteração:
Erro:
Passo 21
Continuamos:
Erro:
Passo 22
Outra iteração:
Erro:
Passo 23
Continuamos até alcançar o erro desejado:
Erro:
Resposta
Após diversas iterações, a raiz aproximada de
no intervalo
usando o método do ponto fixo é
com erro menor ou igual a
.
Exercícios relacionados
A pressão máxima,
que um cabo metálico suporta é dada por
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de
. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo
, use o método iterativo que não recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a
. Use 6 casas decimais nos cálculos.
Agora faça com o método de Newton!
Agora faça com o método de Newton!
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método da falsa posição ou método das cordas, se possível.
a- em
b- em
c- em
a-
b-
c-
Deduza a função de iteração no método das cordas.
Seja a equação
. Complete a tabela
.
bisseção | Falsa posição | Ponto fixo | Newton | Secante | |
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Dados iniciais |
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