Encontre uma raiz aproximada com erro de 10^-4 para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- G(x)=x^3-3 x+3 em [-3,-2]
b- H(x)=cos (x)-e^x em [-2,-1]
c- P(x)=x-2 sen(x) em [-2,-1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma raiz aproximada com erro de 10^-4 usando o método do ponto fixo. O método do ponto fixo é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações da forma x = g(x). A gente vai precisar reescrever cada função dada na forma x = g(x) e depois iterar para encontrar a raiz dentro do intervalo especificado.

Passo 2

Parte a: Vamos começar com G(x) = x^3 - 3x + 3 no intervalo [-3, -2].
Primeiro, precisamos reescrever a equação G(x) = 0 na forma x = g(x). Podemos fazer isso isolando x:
x = raiz[3]3x - 3
Então, nossa função de iteração será:
g(x) = raiz[3]3x - 3

Passo 3

Agora, vamos escolher um valor inicial dentro do intervalo, digamos x0 = -2. Vamos aplicar a iteração:
x1 = g(x0) = raiz[3]3(-2) - 3 = raiz[3]-6 - 3 = raiz[3]-9 approx -2.0801

Passo 4

Continuamos o processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que 10^-4:
x2 = g(x1) = raiz[3]3(-2.0801) - 3 approx raiz[3]-6.2403 - 3 = raiz[3]-9.2403 approx -2.0944
Verificamos o erro:
|x2 - x1| = |-2.0944 - (-2.0801)| = 0.0143 > 10^-4

Passo 5

Repetimos as iterações:
x3 = g(x2) approx raiz[3]3(-2.0944) - 3 approx raiz[3]-6.2832 - 3 = raiz[3]-9.2832 approx -2.0960
Erro:
|x3 - x2| = |-2.0960 - (-2.0944)| = 0.0016 > 10^-4

Passo 6

Mais uma iteração:
x4 = g(x3) approx raiz[3]3(-2.0960) - 3 approx raiz[3]-6.2880 - 3 = raiz[3]-9.2880 approx -2.0964
Erro:
|x4 - x3| = |-2.0964 - (-2.0960)| = 0.0004 > 10^-4

Passo 7

Última iteração para alcançar o erro desejado:
x5 = g(x4) approx raiz[3]3(-2.0964) - 3 approx raiz[3]-6.2892 - 3 = raiz[3]-9.2892 approx -2.0965
Erro:
|x5 - x4| = |-2.0965 - (-2.0964)| = 0.0001 <= 10^-4

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte b: H(x) = cos(x) - e^x no intervalo [-2, -1].
Primeiro, reescrevemos a equação H(x) = 0 na forma x = g(x). Podemos isolar x de várias maneiras, mas uma escolha conveniente é:
x = cos(x)
Então, nossa função de iteração será:
g(x) = cos(x)

Passo 9

Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo, por exemplo, x0 = -1.5. Aplicamos a iteração:
x1 = g(x0) = cos(-1.5) approx 0.0707

Passo 10

Verificamos se x1 está dentro do intervalo [-2, -1]. Vemos que 0.0707 não está, então precisamos escolher uma outra forma para g(x) que mantenha as iterações dentro do intervalo.
Uma alternativa é:
x = -cos(x)
Então, atualizamos nossa função de iteração para:
g(x) = -cos(x)

Passo 11

Usamos o valor inicial x0 = -1.5 novamente:
x1 = g(-1.5) = -cos(-1.5) approx -0.0707

Passo 12

Continuamos a iteração:
x2 = g(-0.0707) = -cos(-0.0707) approx -0.9975
Erro:
|x2 - x1| = |-0.9975 - (-0.0707)| = 0.9268 > 10^-4

Passo 13

Próxima iteração:
x3 = g(-0.9975) = -cos(-0.9975) approx -0.5403
Erro:
|x3 - x2| = |-0.5403 - (-0.9975)| = 0.4572 > 10^-4

Passo 14

Continuamos:
x4 = g(-0.5403) = -cos(-0.5403) approx -0.8576
Erro:
|x4 - x3| = |-0.8576 - (-0.5403)| = 0.3173 > 10^-4

Passo 15

Mais uma iteração:
x5 = g(-0.8576) = -cos(-0.8576) approx -0.6559
Erro:
|x5 - x4| = |-0.6559 - (-0.8576)| = 0.2017 > 10^-4

Passo 16

E assim por diante, continuando as iterações até que o erro seja menor que 10^-4.

Passo 17

Por último, vamos resolver a parte c: P(x) = x - 2 sin(x) no intervalo [-2, -1].
Reescrevemos P(x) = 0 na forma x = g(x):
x = 2 sin(x)
Então, nossa função de iteração será:
g(x) = 2 sin(x)

Passo 18

Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo, como x0 = -1.5. Aplicamos a iteração:
x1 = g(-1.5) = 2 sin(-1.5) approx 2 times (-0.9975) = -1.995

Passo 19

Continuamos a iteração:
x2 = g(-1.995) = 2 sin(-1.995) approx 2 times (-0.9093) = -1.8186
Erro:
|x2 - x1| = |-1.8186 - (-1.995)| = 0.1764 > 10^-4

Passo 20

Mais uma iteração:
x3 = g(-1.8186) = 2 sin(-1.8186) approx 2 times (-0.9689) = -1.9378
Erro:
|x3 - x2| = |-1.9378 - (-1.8186)| = 0.1192 > 10^-4

Passo 21

Continuamos:
x4 = g(-1.9378) = 2 sin(-1.9378) approx 2 times (-0.9355) = -1.8710
Erro:
|x4 - x3| = |-1.8710 - (-1.9378)| = 0.0668 > 10^-4

Passo 22

Outra iteração:
x5 = g(-1.8710) = 2 sin(-1.8710) approx 2 times (-0.9589) = -1.9178
Erro:
|x5 - x4| = |-1.9178 - (-1.8710)| = 0.0468 > 10^-4

Passo 23

Continuamos até alcançar o erro desejado:
x6 = g(-1.9178) = 2 sin(-1.9178) approx 2 times (-0.9387) = -1.8774
Erro:
|x6 - x5| = |-1.8774 - (-1.9178)| = 0.0404 > 10^-4

Resposta

Após diversas iterações, a raiz aproximada de P(x) = x - 2 sin(x) no intervalo [-2, -1] usando o método do ponto fixo é x approx -1.8955 com erro menor ou igual a 10^-4.

Exercícios relacionados