A pressão máxima,
que um cabo metálico suporta é dada por
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de
. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo
, use o método iterativo que não recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a
. Use 6 casas decimais nos cálculos.
Agora faça com o método de Newton!
Agora faça com o método de Newton!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diâmetro
de um cabo metálico que suporta uma pressão máxima dada pela função:
A pressão que queremos atingir é
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que satisfazem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação que queremos resolver:
Para usar o Método de Newton, precisamos transformar isso em uma equação do tipo
. Então, vamos definir:
Passo 3
O Método de Newton requer a derivada da função
. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, precisamos escolher um ponto inicial
dentro do intervalo
. Vamos começar com:
Passo 5
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Primeiro,
Segundo,
Então,
Segundo,
Então,
Passo 7
Calculamos
:
Primeiro,
Segundo,
Então,
Segundo,
Então,
Passo 8
Continuamos o processo até que o erro relativo seja menor que
. Após algumas iterações, chegamos a:
Resposta
O diâmetro necessário para suportar a pressão de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método da falsa posição ou método das cordas, se possível.
a- em
b- em
c- em
a-
b-
c-
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- em
b- em
c- em
a-
b-
c-
Deduza a função de iteração no método das cordas.