A pressão máxima, P, em Kg / mm^2 que um cabo metálico suporta é dada por
P(d)=25 d^2+ln (d)
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de 1.5 times 10-4 Kg / mm^2. Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo [0.2,0.3], use o método iterativo que não recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a 10^-3. Use 6 casas decimais nos cálculos.
Agora faça com o método de Newton!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diâmetro P(d) = 25d^2 + ln(d) de um cabo metálico que suporta uma pressão máxima dada pela função:
A pressão que queremos atingir é . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que queremos resolver:
25d^2 + ln(d) = 1.5 times 10^-4
Para usar o Método de Newton, precisamos transformar isso em uma equação do tipo f(d) = 25d^2 + ln(d) - 1.5 times 10^-4 . Então, vamos definir:

Passo 3

O Método de Newton requer a derivada da função f'(d) = ddd(25d^2) + ddd(ln(d)) = 50d + 1d . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos escolher um ponto inicial d0 = 0.2 dentro do intervalo . Vamos começar com:

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
dn+1 = dn - f(dn)f'(dn)
Vamos calcular f(d0) = 25(0.2)^2 + ln(0.2) - 1.5 times 10^-4 = 1 + (-1.609437912) - 0.00015 = -0.609587912 :
f'(d0) = 50(0.2) + 10.2 = 10 + 5 = 15
d1 = 0.2 - -0.60958791215 = 0.2 + 0.040639193 = 0.240639193

Passo 6

Agora, calculamos f(d1) = 25(0.240639193)^2 + ln(0.240639193) - 1.5 times 10^-4 :
f(d1) = 1.438296725 - 1.424885 - 0.00015 = 0.013261725
Primeiro, f'(d1) = 50(0.240639193) + 10.240639193 = 12.03195965 + 4.155 approx 16.18695965
Segundo, d2 = 0.240639193 - 0.01326172516.18695965 approx 0.240639193 - 0.000819 approx 0.239820
Então,

Passo 7

Calculamos f(d2) = 25(0.239820)^2 + ln(0.239820) - 1.5 times 10^-4 :
f(d2) = 1.43825 - 1.427 - 0.00015 = 0.01110
Primeiro, f'(d2) = 50(0.239820) + 10.239820 = 11.991 + 4.168 approx 16.159
Segundo, d3 = 0.239820 - 0.0111016.159 approx 0.239820 - 0.000687 approx 0.239133
Então,

Passo 8

Continuamos o processo até que o erro relativo seja menor que d approx 0.239133 , mm . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

O diâmetro necessário para suportar a pressão de é aproximadamente .

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