A pressão máxima, que um cabo metálico suporta é dada por
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma pressão de . Sabendo que esse diâmetro pertence ao intervalo , use o método iterativo que não recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior a . Use 6 casas decimais nos cálculos.
Agora faça com o método de Newton!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diâmetro de um cabo metálico que suporta uma pressão máxima dada pela função:
A pressão que queremos atingir é . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que queremos resolver:
Para usar o Método de Newton, precisamos transformar isso em uma equação do tipo . Então, vamos definir:

Passo 3

O Método de Newton requer a derivada da função . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, precisamos escolher um ponto inicial dentro do intervalo . Vamos começar com:

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular :

Passo 6

Agora, calculamos :
Primeiro,
Segundo,
Então,

Passo 7

Calculamos :
Primeiro,
Segundo,
Então,

Passo 8

Continuamos o processo até que o erro relativo seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

O diâmetro necessário para suportar a pressão de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Encontre uma raiz aproximada com erro de para funções abaixo, pelo método da falsa posição ou método das cordas, se possível.
a- em
b- em
c- em
. , o que podemos concluir a respeito das raízes de no intervalo (a,b) ?
Encontre uma raiz aproximada com erro de para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- em
b- em
c- em
Deduza a função de iteração no método das cordas.