Seja
e
. Determine
para que o erro ao se aproximar
por um polinômio de Taylor de grau
seja menor do que
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número inteiro
tal que, ao aproximarmos a função
por um polinômio de Taylor de grau
em torno de
, o erro dessa aproximação seja menor que
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender a série de Taylor e como estimar o erro usando o termo de resto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
No nosso caso,
. A derivada
-ésima de
é
, e portanto
.
Então, a série de Taylor fica:
Passo 3
Agora, a gente quer aproximar
por um polinômio de Taylor de grau
, que é simplesmente os primeiros
termos dessa série:
O erro dessa aproximação é dado pelo termo de resto
, que pode ser estimado pela expressão:
Onde
é um limite para a
-ésima derivada de
no intervalo considerado. No nosso caso:
Então,
.
Passo 4
Substituindo na fórmula do erro:
Queremos que esse erro seja menor que
:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de
que satisfaz essa inequação.
Passo 5
Vamos calcular
para diferentes valores de
até encontrar o menor
que torne essa expressão menor que
.
Calculando passo a passo:
- Para
:
- Para
:
- Continuando esse processo até
:
Resposta
Portanto, o menor valor de
que garante que o erro na aproximação de
por um polinômio de Taylor de grau
seja menor que
no intervalo
é
.