Seja f(x)=e^3 x e a=0. Determine n para que o erro ao se aproximar f(x) por um polinômio de Taylor de grau n seja menor do que 10^-4 no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número inteiro tal que, ao aproximarmos a função por um polinômio de Taylor de grau em torno de , o erro dessa aproximação seja menor que no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender a série de Taylor e como estimar o erro usando o termo de resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função f(x) = sumk=0^infty f^(k)(0)k! x^k em torno de e^3x = sumk=0^infty 3^kk! x^k (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
No nosso caso, . A derivada -ésima de é , e portanto .
Então, a série de Taylor fica:

Passo 3

Agora, a gente quer aproximar Pn(x) = sumk=0^n 3^kk! x^k por um polinômio de Taylor de grau |Rn(x)| <= M cdot |x|^n+1(n+1)! , que é simplesmente os primeiros f^(n+1)(x) = 3^n+1 e^3x <= 3^n+1 e^3 para x in [0,1] termos dessa série:
O erro dessa aproximação é dado pelo termo de resto , que pode ser estimado pela expressão:
Onde é um limite para a -ésima derivada de no intervalo considerado. No nosso caso:
Então, .

Passo 4

Substituindo na fórmula do erro:
|Rn(x)| <= 3^n+1 e^3 cdot 1^n+1(n+1)! = 3^n+1 e^3(n+1)!
Queremos que esse erro seja menor que 3^n+1 e^3(n+1)! < 10^-4 :
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de que satisfaz essa inequação.

Passo 5

Vamos calcular 3^1 e^31! approx 3 times 20,08551 approx 60,2565 > 10^-4 para diferentes valores de 3^2 e^32! approx 9 times 20,08552 approx 90,3848 > 10^-4 até encontrar o menor 3^16 e^316! approx 0,0000414 < 10^-4 que torne essa expressão menor que .
Calculando passo a passo:
  • Para :
  • Para :
  • Continuando esse processo até :

Resposta

Portanto, o menor valor de que garante que o erro na aproximação de por um polinômio de Taylor de grau seja menor que no intervalo é .

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