Seja e . Determine para que o erro ao se aproximar por um polinômio de Taylor de grau seja menor do que no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número inteiro tal que, ao aproximarmos a função por um polinômio de Taylor de grau em torno de , o erro dessa aproximação seja menor que no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender a série de Taylor e como estimar o erro usando o termo de resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
No nosso caso, . A derivada -ésima de é , e portanto .
Então, a série de Taylor fica:

Passo 3

Agora, a gente quer aproximar por um polinômio de Taylor de grau , que é simplesmente os primeiros termos dessa série:
O erro dessa aproximação é dado pelo termo de resto , que pode ser estimado pela expressão:
Onde é um limite para a -ésima derivada de no intervalo considerado. No nosso caso:
Então, .

Passo 4

Substituindo na fórmula do erro:
Queremos que esse erro seja menor que :
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de que satisfaz essa inequação.

Passo 5

Vamos calcular para diferentes valores de até encontrar o menor que torne essa expressão menor que .
Calculando passo a passo:
  • Para :
  • Para :
  • Continuando esse processo até :

Resposta

Portanto, o menor valor de que garante que o erro na aproximação de por um polinômio de Taylor de grau seja menor que no intervalo é .

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0,0 1,001
0,1 1,353
0,2 1,821
0,3 2,465
0,4 3,318
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