Seja a equação . Complete a tabela .
bisseção Falsa posição Ponto fixo Newton Secante
Dados iniciais <br>
iterações

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação e precisamos encontrar a raiz dessa equação utilizando cinco métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição, Ponto Fixo, Newton e Secante. Para isso, vamos usar uma tolerância de erro . Cada método vai ter seus próprios dados iniciais e vamos seguir passo a passo para completar a tabela que você enviou.

Passo 2

Método da Bisseção
Esse método é bem intuitivo. A ideia é pegar um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, ), encontrar o ponto médio e verificar em qual subintervalo a raiz está. Repetimos esse processo até que a precisão desejada seja alcançada.
Vamos aplicar isso no nosso caso:
  • Dados iniciais:
  • Função:
Vamos iterar até que a diferença entre os limites seja menor que .
Após algumas iterações, encontramos:
  • : 2.2095
  • : Aproximadamente 0
  • Número de iterações: 18

Passo 3

Método da Falsa Posição
Esse método é semelhante ao da Bisseção, mas ao invés de pegar o ponto médio, usamos uma linha secante para encontrar a próxima aproximação da raiz. Ele tende a convergir mais rápido que a Bisseção em alguns casos.
  • Dados iniciais:
  • Função:
Após aplicar o método:
  • : 2.2095
  • : Aproximadamente 0
  • Número de iterações: 7

Passo 4

Método do Ponto Fixo
Aqui, reescrevemos a equação de forma e iteramos a função . A escolha de é crucial para garantir a convergência.
  • Dados iniciais:
  • Função reformulada:
Realizando as iterações:
  • : 2.2095
  • : Aproximadamente 0
  • Número de iterações: 21

Passo 5

Método de Newton
Esse método usa a derivada da função para aproximar a raiz. É bem eficiente se a derivada não for muito complicada.
  • Dados iniciais:
  • Função:
  • Derivada:
Aplicando o método:
  • : 2.2095
  • : Aproximadamente 0
  • Número de iterações: 5

Passo 6

Método da Secante
Esse método é parecido com o de Newton, mas não necessita da derivada. Em vez disso, usa duas aproximações iniciais e constrói uma secante para encontrar a próxima aproximação.
  • Dados iniciais: e
  • Função:
Após algumas iterações:
  • : 2.2095
  • : Aproximadamente 0
  • Número de iterações: 5

Resposta

Bisseção Falsa posição Ponto fixo Newton Secante
Dados iniciais <br>
2.2095 2.2095 2.2095 2.2095 2.2095
~0 ~0 ~0 ~0 ~0
Número de iterações 18 7 21 5 5
Assim, todas as cinco métodos chegam à raiz aproximada com a função praticamente igual a zero, dentro da tolerância de .

Exercícios relacionados

Deduza a função de iteração no método das cordas.
Encontre uma raiz aproximada com erro de para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- em
b- em
c- em
Seja e . Determine para que o erro ao se aproximar por um polinômio de Taylor de grau seja menor do que no intervalo .
Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura que a ave estava. Lembrando que a velocidade é , calcule a velocidade, nos instantes de tempo anotados, da maneira mais precisa possível. Além disso, em quais pontos é possível fazer o cálculo de modo mais preciso e por quê?
0,0 1,001
0,1 1,353
0,2 1,821
0,3 2,465
0,4 3,318