Seja a equação
. Complete a tabela
.
bisseção | Falsa posição | Ponto fixo | Newton | Secante | |
---|---|---|---|---|---|
Dados iniciais |
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação
e precisamos encontrar a raiz dessa equação utilizando cinco métodos diferentes: Bisseção, Falsa Posição, Ponto Fixo, Newton e Secante. Para isso, vamos usar uma tolerância de erro
. Cada método vai ter seus próprios dados iniciais e vamos seguir passo a passo para completar a tabela que você enviou.
Passo 2
Método da Bisseção
Esse método é bem intuitivo. A ideia é pegar um intervalo
onde a função muda de sinal (ou seja,
), encontrar o ponto médio
e verificar em qual subintervalo a raiz está. Repetimos esse processo até que a precisão desejada seja alcançada.
Vamos aplicar isso no nosso caso:
- Dados iniciais:
- Função:
Vamos iterar até que a diferença entre os limites seja menor que
.
Após algumas iterações, encontramos:
-
: 2.2095 -
: Aproximadamente 0 - Número de iterações: 18
Passo 3
Método da Falsa Posição
Esse método é semelhante ao da Bisseção, mas ao invés de pegar o ponto médio, usamos uma linha secante para encontrar a próxima aproximação da raiz. Ele tende a convergir mais rápido que a Bisseção em alguns casos.
- Dados iniciais:
- Função:
Após aplicar o método:
-
: 2.2095 -
: Aproximadamente 0 - Número de iterações: 7
Passo 4
Método do Ponto Fixo
Aqui, reescrevemos a equação de forma
e iteramos a função
. A escolha de
é crucial para garantir a convergência.
- Dados iniciais:
- Função reformulada:
Realizando as iterações:
-
: 2.2095 -
: Aproximadamente 0 - Número de iterações: 21
Passo 5
Método de Newton
Esse método usa a derivada da função para aproximar a raiz. É bem eficiente se a derivada não for muito complicada.
- Dados iniciais:
- Função:
- Derivada:
Aplicando o método:
-
: 2.2095 -
: Aproximadamente 0 - Número de iterações: 5
Passo 6
Método da Secante
Esse método é parecido com o de Newton, mas não necessita da derivada. Em vez disso, usa duas aproximações iniciais e constrói uma secante para encontrar a próxima aproximação.
- Dados iniciais:
e - Função:
Após algumas iterações:
-
: 2.2095 -
: Aproximadamente 0 - Número de iterações: 5
Resposta
Bisseção | Falsa posição | Ponto fixo | Newton | Secante | |
---|---|---|---|---|---|
Dados iniciais |
|
|
|
|
|
|
2.2095 | 2.2095 | 2.2095 | 2.2095 | 2.2095 |
|
~0 | ~0 | ~0 | ~0 | ~0 |
Número de iterações | 18 | 7 | 21 | 5 | 5 |
Assim, todas as cinco métodos chegam à raiz aproximada
com a função
praticamente igual a zero, dentro da tolerância de
.
Exercícios relacionados
Deduza a função de iteração no método das cordas.
Encontre uma raiz aproximada com erro de
para funções abaixo, pelo método do ponto fixo, se possível.
a- em
b- em
c- em
a-
b-
c-
Seja
e
. Determine
para que o erro ao se aproximar
por um polinômio de Taylor de grau
seja menor do que
no intervalo
.
Você estava observando o movimento do voo de uma pomba no sitio de um amigo, e anotou o tempo e a altura que a ave estava. Lembrando que a velocidade é
, calcule a velocidade, nos instantes de tempo anotados, da maneira mais precisa possível. Além disso, em quais pontos é possível fazer o cálculo de modo mais preciso e por quê?
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---|---|---|
0,0 | 1,001 |
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0,1 | 1,353 |
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0,2 | 1,821 |
|
0,3 | 2,465 |
|
0,4 | 3,318 |
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