Resolva a equação 1000 D^5-3 D+9.04=0, utilizando o método de Newton e o método das Secantes com três casas decimais de precisão. Utilize nos cálculos e resposta 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando dois métodos: o Método de Newton e o Método das Secantes. Esses métodos são técnicas numéricas para encontrar raízes de equações, ou seja, os valores de que fazem a equação igual a zero. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas (no caso do Método de Newton) e aproximações sucessivas (no Método das Secantes).

Passo 2

Método de Newton
Primeiro, vamos usar o Método de Newton. Esse método requer a função original e sua derivada. Nossa função é:
f(D) = 1000 D^5 - 3 D + 9.04
Vamos calcular a derivada dessa função em relação a f'(D) = ddD(1000 D^5 - 3 D + 9.04) = 5000 D^4 - 3 :

Passo 3

O Método de Newton começa com uma suposição inicial para Dn+1 = Dn - f(Dn)f'(Dn) , que chamaremos de . Em seguida, usamos a fórmula:
Vamos fazer iterações até que a mudança em seja menor que 0,001 (três casas de precisão).

Passo 4

Escolhendo a suposição inicial f(0) = 1000(0)^5 - 3(0) + 9.04 = 9.04 :
Vamos tentar f'(0) = 5000(0)^4 - 3 = -3 :
D1 = 0 - 9.04-3 = 3.0133
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, com f(3.0133) = 1000(3.0133)^5 - 3(3.0133) + 9.04 approx 1000(243.863) - 9.04 + 9.04 approx 243863 , calculamos:
f'(3.0133) = 5000(3.0133)^4 - 3 approx 5000(81.485) - 3 approx 407425
D2 = 3.0133 - 243863407425 approx 3.0133 - 0.5985 = 2.4148
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Continuando as iterações:
f(2.4148) approx 1000(2.4148)^5 - 3(2.4148) + 9.04 approx 1000(79.106) - 7.245 + 9.04 approx 79079
f'(2.4148) approx 5000(2.4148)^4 - 3 approx 5000(33.994) - 3 approx 169970
D3 = 2.4148 - 79079169970 approx 2.4148 - 0.4651 = 1.9497

Passo 7

Continuamos até atingir a precisão desejada:
f(1.9497) approx 1000(1.9497)^5 - 3(1.9497) + 9.04 approx 1000(28.435) - 5.849 + 9.04 approx 28435
f'(1.9497) approx 5000(1.9497)^4 - 3 approx 5000(14.296) - 3 approx 71477
D4 = 1.9497 - 2843571477 approx 1.9497 - 0.3980 = 1.5517

Passo 8

Repetindo o processo:
f(1.5517) approx 1000(1.5517)^5 - 3(1.5517) + 9.04 approx 1000(7.438) - 4.655 + 9.04 approx 7438
f'(1.5517) approx 5000(1.5517)^4 - 3 approx 5000(5.734) - 3 approx 28670
D5 = 1.5517 - 743828670 approx 1.5517 - 0.2592 = 1.2925

Passo 9

Finalmente:
f(1.2925) approx 1000(1.2925)^5 - 3(1.2925) + 9.04 approx 1000(3.716) - 3.878 + 9.04 approx 3716
f'(1.2925) approx 5000(1.2925)^4 - 3 approx 5000(2.794) - 3 approx 13970
D6 = 1.2925 - 371613970 approx 1.2925 - 0.2660 = 1.0265
Continuamos até a diferença entre D approx 1.0000 e ser menor que 0,001. Após algumas iterações, chegamos a uma aproximação:

Resposta

A raiz aproximada da equação é .

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