Resolva a equação
, utilizando o método de Newton e o método das Secantes com três casas decimais de precisão. Utilize nos cálculos e resposta 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando dois métodos: o Método de Newton e o Método das Secantes. Esses métodos são técnicas numéricas para encontrar raízes de equações, ou seja, os valores de
que fazem a equação igual a zero. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas (no caso do Método de Newton) e aproximações sucessivas (no Método das Secantes).
Passo 2
Método de Newton
Primeiro, vamos usar o Método de Newton. Esse método requer a função original e sua derivada. Nossa função é:
Vamos calcular a derivada dessa função em relação a
:
Passo 3
O Método de Newton começa com uma suposição inicial para
, que chamaremos de
. Em seguida, usamos a fórmula:
Vamos fazer iterações até que a mudança em
seja menor que 0,001 (três casas de precisão).
Passo 4
Escolhendo a suposição inicial
:
Vamos tentar
:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, com
, calculamos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Continuando as iterações:
Passo 7
Continuamos até atingir a precisão desejada:
Passo 8
Repetindo o processo:
Passo 9
Finalmente:
Continuamos até a diferença entre
e
ser menor que 0,001. Após algumas iterações, chegamos a uma aproximação:
Resposta
A raiz aproximada da equação
é
.