Delimite as raízes do seguinte polinômio

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio e a missão aqui é delimitar as raízes desse polinômio. Isso significa que vamos encontrar intervalos onde as soluções (raízes) desse polinômio estão localizadas. Vamos usar conceitos de álgebra, como o Teorema do Valor Intermediário e algumas estratégias para identificar onde as raízes podem estar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento do polinômio . Para isso, vamos calcular o valor de em alguns pontos específicos. Isso vai nos ajudar a identificar onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos começar calculando para valores inteiros de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos analisar os sinais dos valores calculados:
  • De para : passa de positivo (14) para negativo (-4). Isso indica que há uma raiz entre e .
  • De para : continua negativo, não há troca de sinal, então provavelmente não há raiz nesse intervalo.
  • De para : continua negativo, sem troca de sinal.
  • De para : continua negativo.
  • De para : continua negativo.
  • De para : continua negativo.
  • De para : passa de negativo (-34) para positivo (98). Isso indica que há uma raiz entre e .

Passo 5

Além dessas, vamos verificar se há mais raízes indo para valores maiores ou menores. Calculando mais alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Analisando esses pontos adicionais:
  • De para : passa de positivo (106) para positivo (14). Sem troca de sinal.
  • De para : continua positivo.
  • De para : continua positivo.
Portanto, até agora, identificamos duas raízes reais: uma entre e , e outra entre e .

Passo 7

Para ter certeza se existem mais raízes, vamos verificar a quantidade de raízes reais que o polinômio pode ter usando o Teorema de Descartes.
Primeiro, vamos contar as mudanças de sinal no polinômio:
Mudanças de sinal:
  1. (positivo) para (negativo) — 1 mudança.
  2. (negativo) para (negativo) — sem mudança.
  3. (negativo) para (negativo) — sem mudança.
Total: 1 mudança de sinal. Segundo o Teorema de Descartes, há no máximo 1 raiz positiva real.
No entanto, já encontramos uma raiz entre e , confirmando essa possibilidade.
Para verificar raízes negativas, substituímos por :
Mudanças de sinal em :
  1. (positivo) para (positivo) — sem mudança.
  2. (positivo) para (negativo) — 1 mudança.
  3. (negativo) para (negativo) — sem mudança.
Total: 1 mudança de sinal. Logo, há no máximo 1 raiz negativa real, o que já identificamos entre e .
Isso confirma que há exatamente duas raízes reais: uma negativa e outra positiva.

Resposta

As raízes reais do polinômio estão localizadas nos seguintes intervalos:
  • Uma raiz entre e .
  • Outra raiz entre e .

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