Delimite as raízes do seguinte polinômio
f(x)=x^4-3 x^3-6 x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio e a missão aqui é delimitar as raízes desse polinômio. Isso significa que vamos encontrar intervalos onde as soluções (raízes) desse polinômio estão localizadas. Vamos usar conceitos de álgebra, como o Teorema do Valor Intermediário e algumas estratégias para identificar onde as raízes podem estar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento do polinômio . Para isso, vamos calcular o valor de em alguns pontos específicos. Isso vai nos ajudar a identificar onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos começar calculando f(-2) = (-2)^4 - 3(-2)^3 - 6(-2)^2 - 2 = 16 - (-24) - 24 - 2 = 16 + 24 - 24 - 2 = 14 para valores inteiros de f(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - 6(-1)^2 - 2 = 1 - (-3) - 6 - 2 = 1 + 3 - 6 - 2 = -4 :
  • Para f(0) = 0^4 - 3 cdot 0^3 - 6 cdot 0^2 - 2 = 0 - 0 - 0 - 2 = -2 :
    f(1) = 1^4 - 3 cdot 1^3 - 6 cdot 1^2 - 2 = 1 - 3 - 6 - 2 = -10
  • Para f(2) = 2^4 - 3 cdot 2^3 - 6 cdot 2^2 - 2 = 16 - 24 - 24 - 2 = -34 :
    f(3) = 3^4 - 3 cdot 3^3 - 6 cdot 3^2 - 2 = 81 - 81 - 54 - 2 = -56
  • Para f(4) = 4^4 - 3 cdot 4^3 - 6 cdot 4^2 - 2 = 256 - 192 - 96 - 2 = -34 :
    f(5) = 5^4 - 3 cdot 5^3 - 6 cdot 5^2 - 2 = 625 - 375 - 150 - 2 = 98
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos analisar os sinais dos valores calculados:
  • De para : passa de positivo (14) para negativo (-4). Isso indica que há uma raiz entre e .
  • De para : continua negativo, não há troca de sinal, então provavelmente não há raiz nesse intervalo.
  • De para : continua negativo, sem troca de sinal.
  • De para : continua negativo.
  • De para : continua negativo.
  • De para : continua negativo.
  • De para : passa de negativo (-34) para positivo (98). Isso indica que há uma raiz entre e .

Passo 5

Além dessas, vamos verificar se há mais raízes indo para valores maiores ou menores. Calculando mais alguns pontos:
  • Para f(-3) = (-3)^4 - 3(-3)^3 - 6(-3)^2 - 2 = 81 - (-81) - 54 - 2 = 81 + 81 - 54 - 2 = 106 :
    f(6) = 6^4 - 3 cdot 6^3 - 6 cdot 6^2 - 2 = 1296 - 648 - 216 - 2 = 430
  • Para f(-4) = (-4)^4 - 3(-4)^3 - 6(-4)^2 - 2 = 256 - (-192) - 96 - 2 = 256 + 192 - 96 - 2 = 350 :
  • Para :

Passo 6

Analisando esses pontos adicionais:
  • De para : passa de positivo (106) para positivo (14). Sem troca de sinal.
  • De para : continua positivo.
  • De para : continua positivo.
Portanto, até agora, identificamos duas raízes reais: uma entre e , e outra entre e .

Passo 7

Para ter certeza se existem mais raízes, vamos verificar a quantidade de raízes reais que o polinômio pode ter usando o Teorema de Descartes.
Primeiro, vamos contar as mudanças de sinal no polinômio:
f(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 - 2
Mudanças de sinal:
  1. f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^3 - 6(-x)^2 - 2 = x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 2 (positivo) para (negativo) — 1 mudança.
  2. (negativo) para (negativo) — sem mudança.
  3. (negativo) para (negativo) — sem mudança.
Total: 1 mudança de sinal. Segundo o Teorema de Descartes, há no máximo 1 raiz positiva real.
No entanto, já encontramos uma raiz entre e , confirmando essa possibilidade.
Para verificar raízes negativas, substituímos por :
Mudanças de sinal em :
  1. (positivo) para (positivo) — sem mudança.
  2. (positivo) para (negativo) — 1 mudança.
  3. (negativo) para (negativo) — sem mudança.
Total: 1 mudança de sinal. Logo, há no máximo 1 raiz negativa real, o que já identificamos entre e .
Isso confirma que há exatamente duas raízes reais: uma negativa e outra positiva.

Resposta

As raízes reais do polinômio estão localizadas nos seguintes intervalos:
  • Uma raiz entre e .
  • Outra raiz entre e .

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