Delimite as raízes do seguinte polinômio
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio
e a missão aqui é delimitar as raízes desse polinômio. Isso significa que vamos encontrar intervalos onde as soluções (raízes) desse polinômio estão localizadas. Vamos usar conceitos de álgebra, como o Teorema do Valor Intermediário e algumas estratégias para identificar onde as raízes podem estar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento do polinômio
. Para isso, vamos calcular o valor de
em alguns pontos específicos. Isso vai nos ajudar a identificar onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos começar calculando
para valores inteiros de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Agora, vamos analisar os sinais dos valores calculados:
-
De
para : passa de positivo (14) para negativo (-4). Isso indica que há uma raiz entre e . -
De
para : continua negativo, não há troca de sinal, então provavelmente não há raiz nesse intervalo. -
De
para : continua negativo, sem troca de sinal. -
De
para : continua negativo. -
De
para : continua negativo. -
De
para : continua negativo. -
De
para : passa de negativo (-34) para positivo (98). Isso indica que há uma raiz entre e .
Passo 5
Além dessas, vamos verificar se há mais raízes indo para valores maiores ou menores. Calculando mais alguns pontos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Analisando esses pontos adicionais:
-
De
para : passa de positivo (106) para positivo (14). Sem troca de sinal. -
De
para : continua positivo. -
De
para : continua positivo.
Portanto, até agora, identificamos duas raízes reais: uma entre
e
, e outra entre
e
.
Passo 7
Para ter certeza se existem mais raízes, vamos verificar a quantidade de raízes reais que o polinômio pode ter usando o Teorema de Descartes.
Primeiro, vamos contar as mudanças de sinal no polinômio:
Mudanças de sinal:
-
(positivo) para (negativo) — 1 mudança. -
(negativo) para (negativo) — sem mudança. -
(negativo) para (negativo) — sem mudança.
Total: 1 mudança de sinal. Segundo o Teorema de Descartes, há no máximo 1 raiz positiva real.
No entanto, já encontramos uma raiz entre
e
, confirmando essa possibilidade.
Para verificar raízes negativas, substituímos
por
:
Mudanças de sinal em
:
-
(positivo) para (positivo) — sem mudança. -
(positivo) para (negativo) — 1 mudança. -
(negativo) para (negativo) — sem mudança.
Total: 1 mudança de sinal. Logo, há no máximo 1 raiz negativa real, o que já identificamos entre
e
.
Isso confirma que há exatamente duas raízes reais: uma negativa e outra positiva.
Resposta
As raízes reais do polinômio
estão localizadas nos seguintes intervalos:
- Uma raiz entre
e . - Outra raiz entre
e .
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Calcule a integral abaixo, utilizando conceito de áreas.
Utilizando definição precisa de limite, prove que
.
Determinar a reta de regressio linear
, que aproxima os pontos
e
。
Usando método da bissecção, encontre uma estimativa para a raiz da função
no intervalo [1,2], dado o erro
. [Resp. São necessárias
iterações, e obtém-se aproximação