Utilizando definição precisa de limite, prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar a definição precisa de limite pra provar que quando se aproxima de 1, se aproxima de . Isso é parte da matéria de cálculo, mais especificamente sobre limites. Vamos precisar entender bem a definição de limite usando e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição precisa de limite. Diz que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Então, queremos mostrar que para todo , existe um tal que:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, precisamos garantir que:

Passo 4

Para fazer , basta dividir ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma condição para . Ou seja, se escolhermos:
então sempre que , teremos , que é exatamente o que precisamos.

Passo 5

Então, resumindo, para qualquer , se escolhermos , sempre que , teremos:
Isso confirma a definição precisa de limite.

Resposta

Portanto, .

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Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função , onde é o número de resistores produzidos por hora e, é o tempo (horas) desde o início do turno (com .
Dessa forma:
Calcule a variação média de resistores por hora, durante o turno de 8 horas.
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Delimite as raízes do seguinte polinômio