Utilizando definição precisa de limite, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar a definição precisa de limite pra provar que quando
se aproxima de 1,
se aproxima de
. Isso é parte da matéria de cálculo, mais especificamente sobre limites. Vamos precisar entender bem a definição de limite usando
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição precisa de limite. Diz que:
significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Então, queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então, precisamos garantir que:
Passo 4
Para fazer
, basta dividir ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma condição para
. Ou seja, se escolhermos:
então sempre que
, teremos
, que é exatamente o que precisamos.
Passo 5
Então, resumindo, para qualquer
, se escolhermos
, sempre que
, teremos:
Isso confirma a definição precisa de limite.
Resposta
Portanto,
.