Utilizando definição precisa de limite, prove que lim x 1(2 x-3)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar a definição precisa de limite pra provar que quando se aproxima de 1, se aproxima de . Isso é parte da matéria de cálculo, mais especificamente sobre limites. Vamos precisar entender bem a definição de limite usando e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição precisa de limite. Diz que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo 0 < |x - 1| < de, existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Então, queremos mostrar que para todo , existe um tal que:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|(2x - 3) - (-1)| = |2x - 3 + 1| = |2x - 2| = 2|x - 1|
Então, precisamos garantir que:
2|x - 1| < epsilon

Passo 4

Para fazer |x - 1| < epsilon2 , basta dividir ambos os lados por 2:
de
Isso nos dá uma condição para . Ou seja, se escolhermos:
então sempre que , teremos , que é exatamente o que precisamos.

Passo 5

Então, resumindo, para qualquer |(2x - 3) - (-1)| = 2|x - 1| < 2 cdot epsilon2 = epsilon , se escolhermos , sempre que , teremos:
Isso confirma a definição precisa de limite.

Resposta

Portanto, .

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