Demonstre que um espaço normado diferente de não tem pontos isolados.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que um espaço normado, diferente do conjunto que só tem o elemento zero, não possui pontos isolados. Estamos lidando com espaços normados, que são tipos de espaços métricos onde a distância entre pontos é definida por uma norma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto isolado e como as normas ajudam a medir distâncias entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto isolado. Em um espaço, um ponto é considerado isolado se existe uma “bolinha” ao seu redor que não contém nenhum outro ponto além dele mesmo. Essa “bolinha” é definida por um raio, que é uma distância fixa a partir do ponto central. Se sempre conseguimos encontrar outros pontos dentro de qualquer distância que escolhermos, então o ponto não é isolado.
Passo 3
Agora, vamos considerar um espaço normado que não é apenas o conjunto contendo o zero. Ou seja, temos pelo menos dois pontos diferentes nesse espaço. Vamos pegar um desses pontos, digamos , que não é o zero.
Passo 4
Queremos provar que não é um ponto isolado. Para isso, precisamos mostrar que, para qualquer raio que escolhamos, sempre podemos encontrar outro ponto no espaço normado tal que a distância entre e seja menor que . Em termos de normas, isso significa que:
Como nosso espaço não é apenas o zero, podemos escolher um vetor não nulo no espaço normado. Agora, vamos definir . Aqui, é a normalização do vetor , garantindo que tenhamos um vetor unitário na direção de . Assim, a distância entre e será:
Além disso, é diferente de porque adicionamos um vetor não nulo a . Portanto, para qualquer , sempre existe um ponto diferente de que está dentro da distância de .
Passo 5
Como mostramos que para qualquer ponto no espaço normado (diferente de zero) e para qualquer raio , sempre existe outro ponto dentro dessa distância de , concluímos que nenhum ponto é isolado nesse espaço.
Resposta
Portanto, em qualquer espaço normado que não seja apenas o conjunto , não existem pontos isolados.