Seja o espaço vetorial . Prove que são métricas, para cada e em , as seguintes funções
(métrica euclidiana).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos o espaço vetorial , que é um espaço com dimensões. O exercício quer que a gente prove que a função
é uma métrica nesse espaço. Isso significa que precisamos mostrar que essa função satisfaz as propriedades de uma métrica. Para isso, vamos precisar conhecer e aplicar as três propriedades fundamentais das métricas: não-negatividade, simetria e desigualdade triangular.

Passo 2

A primeira propriedade que vamos verificar é a não-negatividade. Isso significa que para quaisquer pontos e em , a distância deve ser sempre maior ou igual a zero, e se e somente se .
Explicação da teoria: A não-negatividade garante que a distância nunca é negativa e que a única maneira de a distância ser zero é se os dois pontos forem exatamente os mesmos.
Vamos calcular :
Como cada termo é sempre não negativo (já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero), a soma desses termos também é não negativa. A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa. Portanto, .
Agora, se , então:
Isso só acontece se cada termo dentro da raiz for zero, ou seja, para todo de 1 a . Portanto, .

Passo 3

A segunda propriedade a verificar é a simetria. Isso quer dizer que para quaisquer pontos e em , a distância de para deve ser igual à distância de para , isto é, .
Explicação da teoria: A simetria assegura que a distância entre dois pontos não depende da ordem em que escolhemos os pontos.
Vamos calcular :
Observamos que para todo , já que o quadrado elimina o sinal negativo. Portanto:

Passo 4

A terceira e última propriedade a verificar é a desigualdade triangular. Isso significa que para quaisquer pontos , e em , a distância direta de para deve ser menor ou igual à soma das distâncias de para e de para , ou seja:
Explicação da teoria: A desigualdade triangular reflete a ideia intuitiva de que a rota direta entre dois pontos é a mais curta possível.
Para provar isso, usamos a desigualdade de Minkowski, que é uma generalização da desigualdade triangular para espaços vetoriais.
Calculamos , e :
A desigualdade de Minkowski nos diz que:
Portanto, , comprovando a desigualdade triangular.

Resposta

A função definida ��, de fato, uma métrica no espaço , pois satisfaz todas as propriedades necessárias: não-negatividade, simetria e desigualdade triangular.

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