Seja o espaço vetorial R^n. Prove que são normas, para cada x=(x1, y2, ldots, xn) em R^n, as seguintes funções
|x|^prime prime=max 1 <= i <= n|x1|,|x2|, ldots,|xn|. (norma do máximo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que uma certa função é uma norma no espaço vetorial R^n. Basicamente, uma norma é uma maneira de medir o tamanho (ou comprimento) dos vetores nesse espaço. Para provar que a função dada é uma norma, precisamos verificar se ela satisfaz três propriedades fundamentais das normas. Vamos precisar entender essas propriedades e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as três propriedades que uma função |cdot| precisa satisfazer para ser considerada uma norma:
  1. Positividade e Definitude: Para todo vetor x, |x| >= 0 e |x| = 0 se e somente se x é o vetor zero.
  2. Homogeneidade (ou Escalar): Para todo escalar alpha e todo vetor x, |alpha x| = |alpha| |x|.
  3. Desigualdade Triangular: Para todos os vetores x e y, |x + y| <= |x| + |y|.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada:
|x|^prime prime = max |x1|, |x2|, ldots, |xn|

Passo 3

1. Positividade e Definitude
Positividade: A função pega o máximo dos valores absolutos das coordenadas de x. Como o valor absoluto de qualquer número é sempre não negativo, o máximo também será não negativo. Logo, |x|^prime prime >= 0.
Definitude: Se |x|^prime prime = 0, então todos os |xi| devem ser zero, o que implica que todos os xi = 0. Portanto, x é o vetor zero. Vice-versa, se x é o vetor zero, então |x|^prime prime = 0.

Passo 4

2. Homogeneidade (Escalar)
Vamos testar se |alpha x|^prime prime = |alpha| |x|^prime prime.
Calculando |alpha x|^prime prime:
|alpha x|^prime prime = max |alpha x1|, |alpha x2|, ldots, |alpha xn| = |alpha| max |x1|, |x2|, ldots, |xn| = |alpha| |x|^prime prime
Então, a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Passo 5

3. Desigualdade Triangular
Precisamos mostrar que |x + y|^prime prime <= |x|^prime prime + |y|^prime prime.
Vamos considerar:
|x + y|^prime prime = max |x1 + y1|, |x2 + y2|, ldots, |xn + yn|
Pela desigualdade triangular para números reais, sabemos que:
|xi + yi| <= |xi| + |yi|
Portanto,
|x + y|^prime prime <= max |x1| + |y1|, |x2| + |y2|, ldots, |xn| + |yn|
E como max |xi| + |yi| <= max |xi| + max |yi| , temos:
|x + y|^prime prime <= |x|^prime prime + |y|^prime prime
Assim, a desigualdade triangular também é satisfeita.

Resposta

Como a função |x|^prime prime = max |x1|, |x2|, ldots, |xn| satisfaz todas as propriedades de uma norma (positividade e definitude, homogeneidade e desigualdade triangular), concluímos que ela é, de fato, uma norma no espaço vetorial R^n.

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