Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
. (norma do máximo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que uma certa função é uma norma no espaço vetorial
. Basicamente, uma norma é uma maneira de medir o tamanho (ou comprimento) dos vetores nesse espaço. Para provar que a função dada é uma norma, precisamos verificar se ela satisfaz três propriedades fundamentais das normas. Vamos precisar entender essas propriedades e aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as três propriedades que uma função
precisa satisfazer para ser considerada uma norma:
- Positividade e Definitude: Para todo vetor
, e se e somente se é o vetor zero. - Homogeneidade (ou Escalar): Para todo escalar
e todo vetor , . - Desigualdade Triangular: Para todos os vetores
e , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada:
Passo 3
1. Positividade e Definitude
Positividade: A função pega o máximo dos valores absolutos das coordenadas de
. Como o valor absoluto de qualquer número é sempre não negativo, o máximo também será não negativo. Logo,
.
Definitude: Se
, então todos os
devem ser zero, o que implica que todos os
. Portanto,
é o vetor zero. Vice-versa, se
é o vetor zero, então
.
Passo 4
2. Homogeneidade (Escalar)
Vamos testar se
.
Calculando
:
Então, a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Passo 5
3. Desigualdade Triangular
Precisamos mostrar que
.
Vamos considerar:
Pela desigualdade triangular para números reais, sabemos que:
Portanto,
E como
, temos:
Assim, a desigualdade triangular também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz todas as propriedades de uma norma (positividade e definitude, homogeneidade e desigualdade triangular), concluímos que ela é, de fato, uma norma no espaço vetorial
.