Seja o espaço vetorial . Prove que são normas, para cada em , as seguintes funções
. (norma do máximo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que uma certa função é uma norma no espaço vetorial . Basicamente, uma norma é uma maneira de medir o tamanho (ou comprimento) dos vetores nesse espaço. Para provar que a função dada é uma norma, precisamos verificar se ela satisfaz três propriedades fundamentais das normas. Vamos precisar entender essas propriedades e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as três propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada uma norma:
  1. Positividade e Definitude: Para todo vetor , e se e somente se é o vetor zero.
  2. Homogeneidade (ou Escalar): Para todo escalar e todo vetor , .
  3. Desigualdade Triangular: Para todos os vetores e , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada:

Passo 3

1. Positividade e Definitude
Positividade: A função pega o máximo dos valores absolutos das coordenadas de . Como o valor absoluto de qualquer número é sempre não negativo, o máximo também será não negativo. Logo, .
Definitude: Se , então todos os devem ser zero, o que implica que todos os . Portanto, é o vetor zero. Vice-versa, se é o vetor zero, então .

Passo 4

2. Homogeneidade (Escalar)
Vamos testar se .
Calculando :
Então, a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Passo 5

3. Desigualdade Triangular
Precisamos mostrar que .
Vamos considerar:
Pela desigualdade triangular para números reais, sabemos que:
Portanto,
E como , temos:
Assim, a desigualdade triangular também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz todas as propriedades de uma norma (positividade e definitude, homogeneidade e desigualdade triangular), concluímos que ela é, de fato, uma norma no espaço vetorial .

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