Seja
um interiro. Mostre que
(a)
é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um número inteiro
e queremos mostrar que o quadrado desse número, ou seja,
, deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. Estamos trabalhando com aritmética modular, que trata dos restos das divisões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número inteiro
pode ser representado de oito maneiras diferentes quando dividimos por 8. Essas representações são chamadas de classes de congruência e vão de 0 a 7. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas possibilidades e ver qual é o resto quando dividimos por 8.
-
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
:
Resposta
Depois de calcular, vemos que
sempre deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. Portanto,
.
Exercícios relacionados
Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .
(b)
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e
relativamente primos e
tal que
e
, então
.
© Sejam
Seja
um primo e
.
Mostre que: Se então,
ou
.
Generalize este resultado para um produto de
Mostre que: Se
Generalize este resultado para um produto de