Seja um interiro. Mostre que
(a) é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um número inteiro e queremos mostrar que o quadrado desse número, ou seja, , deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. Estamos trabalhando com aritmética modular, que trata dos restos das divisões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número inteiro pode ser representado de oito maneiras diferentes quando dividimos por 8. Essas representações são chamadas de classes de congruência e vão de 0 a 7. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas possibilidades e ver qual é o resto quando dividimos por 8.
  1. Se :
  2. Se :
  3. Se :
  4. Se :
  5. Se :
  6. Se :
  7. Se :
  8. Se :

Resposta

Depois de calcular, vemos que sempre deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. Portanto, .

Exercícios relacionados

Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)
Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e relativamente primos e tal que e , então .
Seja um primo e .
Mostre que: Se então, ou .
Generalize este resultado para um produto de