Seja a um interiro. Mostre que
(a) a^2 é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um número inteiro e queremos mostrar que o quadrado desse número, ou seja, , deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. Estamos trabalhando com aritmética modular, que trata dos restos das divisões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número inteiro a equiv 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 pmod8 pode ser representado de oito maneiras diferentes quando dividimos por 8. Essas representações são chamadas de classes de congruência e vão de 0 a 7. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas possibilidades e ver qual é o resto quando dividimos por 8.
  1. Se a^2 = 0^2 = 0 equiv 0 pmod8 :
    a^2 = 1^2 = 1 equiv 1 pmod8
  2. Se a^2 = 2^2 = 4 equiv 4 pmod8 :
    a^2 = 3^2 = 9 equiv 1 pmod8 (porque 9 - 8 = 1)
  3. Se a^2 = 4^2 = 16 equiv 0 pmod8 (porque 16 - 2 times 8 = 0) :
    a^2 = 5^2 = 25 equiv 1 pmod8 (porque 25 - 3 times 8 = 1)
  4. Se a^2 = 6^2 = 36 equiv 4 pmod8 (porque 36 - 4 times 8 = 4) :
    a^2 = 7^2 = 49 equiv 1 pmod8 (porque 49 - 6 times 8 = 1)
  5. Se :
  6. Se :
  7. Se :
  8. Se :

Resposta

Depois de calcular, vemos que sempre deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. Portanto, .

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