Demostre convergência do algoritmo iterativo com a função de iteração phi(x)=cos (x2). Qual equação resolve este algoritmo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que o algoritmo iterativo definido pela função de iteração converge. Isso envolve conceitos de análise de funções e métodos iterativos para encontrar soluções de equações. Para resolver isso, vamos utilizar o método de ponto fixo, que requer que a função seja uma contração no intervalo considerado.

Passo 2

Para aplicar o método de ponto fixo, precisamos encontrar um ponto fixo x^* = cos(x^*2) tal que . Isso significa que:
Essa é a equação que resolve o algoritmo iterativo dado.

Passo 3

Agora, para demonstrar a convergência do algoritmo, devemos mostrar que |phi(x) - phi(y)| <= L |x - y| é uma função contração no intervalo onde estamos procurando o ponto fixo. Uma função é contração se existir uma constante phi'(x) = ddx cos(x2) = -12 sin(x2) tal que para todos |phi'(x)| = | -12 sin(x2) | = 12 |sin(x2)| <= 12 e no intervalo,
Vamos calcular a derivada de :
O valor absoluto da derivada é:
Como para todo , a função é uma contração.

Passo 4

Segundo o Teorema do Ponto Fixo de Banach, se uma função é uma contração em um espaço métrico completo, então ela possui um único ponto fixo, e a iteração a partir de qualquer ponto inicial converge para esse ponto fixo. Portanto, como é uma contração, o algoritmo iterativo definido por converge para o ponto fixo .

Resposta

A equação que resolve o algoritmo iterativo é , e o método converge para o único ponto fixo dessa equação.

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