Demostre convergência do algoritmo iterativo com a função de iteração . Qual equação resolve este algoritmo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que o algoritmo iterativo definido pela função de iteração converge. Isso envolve conceitos de análise de funções e métodos iterativos para encontrar soluções de equações. Para resolver isso, vamos utilizar o método de ponto fixo, que requer que a função seja uma contração no intervalo considerado.
Passo 2
Para aplicar o método de ponto fixo, precisamos encontrar um ponto fixo tal que . Isso significa que:
Essa é a equação que resolve o algoritmo iterativo dado.
Passo 3
Agora, para demonstrar a convergência do algoritmo, devemos mostrar que é uma função contração no intervalo onde estamos procurando o ponto fixo. Uma função é contração se existir uma constante tal que para todos e no intervalo,
Vamos calcular a derivada de :
O valor absoluto da derivada é:
Como para todo , a função é uma contração.
Passo 4
Segundo o Teorema do Ponto Fixo de Banach, se uma função é uma contração em um espaço métrico completo, então ela possui um único ponto fixo, e a iteração a partir de qualquer ponto inicial converge para esse ponto fixo. Portanto, como é uma contração, o algoritmo iterativo definido por converge para o ponto fixo .
Resposta
A equação que resolve o algoritmo iterativo é , e o método converge para o único ponto fixo dessa equação.