(3,0) A derivada de f(x)=1 /(1-3 x^2) é dada por
6 x(1-3 x^2)^2
Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em x=0,577? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão nos pede para calcular a derivada da função no ponto . Para isso, precisamos entender como calcular derivadas e trabalhar com aritmética de pontos flutuantes usando três e quatro algarismos significativos com truncamento. Vamos usar a fórmula da derivada e aplicar os conceitos de arredondamento para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função dada. A função é:
f(x) = 11 - 3x^2
A derivada dessa função, f'(x) = 6x(1 - 3x^2)^2 , já foi fornecida:
Essa fórmula nos permite calcular a taxa de variação de em relação a em qualquer ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada no ponto f'(0,577) = 6 times 0,577(1 - 3 times (0,577)^2)^2 usando três algarismos significativos com truncamento. Primeiro, substituímos 0,577^2 = 0,333 na fórmula da derivada:
3 times 0,333 = 0,999
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcule 1 - 0,999 = 0,001 :
    (0,001)^2 = 0,000001
  2. Multiplique por 3:
    6 times 0,577 = 3,462
  3. Subtraia de 1:
    3,4620,000001 = 3.462 times 10^6
  4. Eleve ao quadrado:
    f'(0,577) approx 3.46 times 10^6
  5. Multiplique 6 por 0,577:
  6. Divida os resultados:
Com três algarismos significativos e truncamento, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a mesma derivada usando quatro algarismos significativos com truncamento.
  1. Usando os mesmos valores intermediários, mas mantendo mais precisão:
    • 3,4620,000001 = 3.462 times 10^6 (mantém-se igual com quatro algarismos)
    • f'(0,577) approx 3.462 times 10^6
  2. Dividindo:
Com quatro algarismos significativos e truncamento, temos:

Passo 5

Para comparar, vamos calcular o valor da derivada sem restrições de máquina, ou seja, com toda a precisão possível:
f'(0,577) = 6 times 0,577(1 - 3 times (0,577)^2)^2
Calculando com mais precisão:

Passo 6

Comparando os resultados:
  • Com três algarismos:
  • Com quatro algarismos:
  • Sem restrições:
Observamos que, ao usar apenas três ou quatro algarismos significativos com truncamento, o valor calculado da derivada é muito menor que o valor real obtido sem restrições. Isso acontece porque, ao truncar os algarismos, perdemos precisão, especialmente em denominadores muito pequenos, o que amplifica os erros e resulta em um valor significativamente menor.

Resposta

Ao calcular com três algarismos, obtivemos , com quatro algarismos , enquanto o valor real é aproximadamente . Isso mostra que o uso de poucos algarismos significativos com truncamento pode levar a resultados drasticamente imprecisos, especialmente quando o denominador é muito pequeno, amplificando os erros de arredondamento.

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