(3,0) A derivada de é dada por
Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em ? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão nos pede para calcular a derivada da função no ponto . Para isso, precisamos entender como calcular derivadas e trabalhar com aritmética de pontos flutuantes usando três e quatro algarismos significativos com truncamento. Vamos usar a fórmula da derivada e aplicar os conceitos de arredondamento para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função dada. A função é:
A derivada dessa função, , já foi fornecida:
Essa fórmula nos permite calcular a taxa de variação de em relação a em qualquer ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada no ponto usando três algarismos significativos com truncamento. Primeiro, substituímos na fórmula da derivada:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcule :
  2. Multiplique por 3:
  3. Subtraia de 1:
  4. Eleve ao quadrado:
  5. Multiplique 6 por 0,577:
  6. Divida os resultados:
Com três algarismos significativos e truncamento, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a mesma derivada usando quatro algarismos significativos com truncamento.
  1. Usando os mesmos valores intermediários, mas mantendo mais precisão:
    • (mantém-se igual com quatro algarismos)
  2. Dividindo:
Com quatro algarismos significativos e truncamento, temos:

Passo 5

Para comparar, vamos calcular o valor da derivada sem restrições de máquina, ou seja, com toda a precisão possível:
Calculando com mais precisão:

Passo 6

Comparando os resultados:
  • Com três algarismos:
  • Com quatro algarismos:
  • Sem restrições:
Observamos que, ao usar apenas três ou quatro algarismos significativos com truncamento, o valor calculado da derivada é muito menor que o valor real obtido sem restrições. Isso acontece porque, ao truncar os algarismos, perdemos precisão, especialmente em denominadores muito pequenos, o que amplifica os erros e resulta em um valor significativamente menor.

Resposta

Ao calcular com três algarismos, obtivemos , com quatro algarismos , enquanto o valor real é aproximadamente . Isso mostra que o uso de poucos algarismos significativos com truncamento pode levar a resultados drasticamente imprecisos, especialmente quando o denominador é muito pequeno, amplificando os erros de arredondamento.

Exercícios relacionados

Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para utilizando um polinômio de grau 1.
Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
(2,0) Encontre a profundidade y utilizando o Método da Bisseção iniciando em e , com tolerância de . Faça no máximo 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro .
(3,0) Deseja-se encontrar o zero da seguinte função:
Sabendo que o valor inicial foi , são dadas as primeiras 3 iterações. Prossiga com o processo iterativo de Newton Raphson até o erro ou até o máximo de 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro $= f(x) $.
erro
2.06250000 -158.4736 158.4736
1.73942158 -49.7306 49.7306
1.50556293 -13.9443 13.9443
Formulário:
Método da Bisseção:

Método das Cordas:

Método de Newton-Raphson: