Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em ? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas. A questão nos pede para calcular a derivada da função no ponto . Para isso, precisamos entender como calcular derivadas e trabalhar com aritmética de pontos flutuantes usando três e quatro algarismos significativos com truncamento. Vamos usar a fórmula da derivada e aplicar os conceitos de arredondamento para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função dada. A função é:
A derivada dessa função, , já foi fornecida:
Essa fórmula nos permite calcular a taxa de variação de em relação a em qualquer ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada no ponto usando três algarismos significativos com truncamento. Primeiro, substituímos na fórmula da derivada:
Vamos calcular passo a passo:
Calcule :
Multiplique por 3:
Subtraia de 1:
Eleve ao quadrado:
Multiplique 6 por 0,577:
Divida os resultados:
Com três algarismos significativos e truncamento, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a mesma derivada usando quatro algarismos significativos com truncamento.
Usando os mesmos valores intermediários, mas mantendo mais precisão:
(mantém-se igual com quatro algarismos)
Dividindo:
Com quatro algarismos significativos e truncamento, temos:
Passo 5
Para comparar, vamos calcular o valor da derivada sem restrições de máquina, ou seja, com toda a precisão possível:
Calculando com mais precisão:
Passo 6
Comparando os resultados:
Com três algarismos:
Com quatro algarismos:
Sem restrições:
Observamos que, ao usar apenas três ou quatro algarismos significativos com truncamento, o valor calculado da derivada é muito menor que o valor real obtido sem restrições. Isso acontece porque, ao truncar os algarismos, perdemos precisão, especialmente em denominadores muito pequenos, o que amplifica os erros e resulta em um valor significativamente menor.
Resposta
Ao calcular com três algarismos, obtivemos , com quatro algarismos , enquanto o valor real é aproximadamente . Isso mostra que o uso de poucos algarismos significativos com truncamento pode levar a resultados drasticamente imprecisos, especialmente quando o denominador é muito pequeno, amplificando os erros de arredondamento.