Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos da tabela fornecida. Isso envolve um conceito chamado interpolação polinomial, que basicamente é encontrar um polinômio que “liga os pontos” dados. Aqui, vamos precisar usar álgebra para montar e resolver um sistema de equações que nos dará os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. A forma geral dele é:
Onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos da tabela para montar equações. Temos três pontos: , e . Vamos substituir cada par na equação do polinômio.
Para :
çã
Para :
çã
Para :
çã

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, podemos simplificar subtraindo a Equação 1 das Equações 2 e 3 para eliminar o .
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
çã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação 5 para :
çã

Passo 6

Agora, substituímos a Equação 6 na Equação 4:

Passo 7

Agora que encontramos , vamos usar a Equação 6 para achar :

Passo 8

Por fim, voltamos à Equação 1 para encontrar :

Resposta

O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3 é:

Exercícios relacionados

Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7 0,8
0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para utilizando um polinômio de grau 1.
(3,0) A derivada de é dada por
Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em ? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).