Seja f(x)=x ln (x) e a tabela abaixo:
x 1 1,5 2
f(x) 0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos da tabela fornecida. Isso envolve um conceito chamado interpolação polinomial, que basicamente é encontrar um polinômio que “liga os pontos” dados. Aqui, vamos precisar usar álgebra para montar e resolver um sistema de equações que nos dará os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. A forma geral dele é:
p(x) = a x^2 + b x + c
Onde , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos da tabela para montar equações. Temos três pontos: a(1)^2 + b(1) + c = 0 Rightarrow a + b + c = 0 (Equação 1) , a(1,5)^2 + b(1,5) + c = 0,60819 Rightarrow 2,25a + 1,5b + c = 0,60819 (Equação 2) e a(2)^2 + b(2) + c = 1,38629 Rightarrow 4a + 2b + c = 1,38629 (Equação 3) . Vamos substituir cada par na equação do polinômio.
Para :
çã
Para :
çã
Para :
çã

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, podemos simplificar subtraindo a Equação 1 das Equações 2 e 3 para eliminar o (2,25a + 1,5b + c) - (a + b + c) = 0,60819 - 0 2,25a - a + 1,5b - b = 0,60819 1,25a + 0,5b = 0,60819 (Equação 4) .
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 1,38629 - 0 4a - a + 2b - b = 1,38629 3a + b = 1,38629 (Equação 5) çã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
1,25a + 0,5b = 0,60819 (Equação 4) 3a + b = 1,38629 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação 5 para b = 1,38629 - 3a (Equação 6) :
çã

Passo 6

Agora, substituímos a Equação 6 na Equação 4:
1,25a + 0,5(1,38629 - 3a) = 0,60819 1,25a + 0,693145 - 1,5a = 0,60819 (1,25a - 1,5a) + 0,693145 = 0,60819 -0,25a + 0,693145 = 0,60819 -0,25a = 0,60819 - 0,693145 -0,25a = -0,084955 a = -0,084955-0,25 a = 0,33982

Passo 7

Agora que encontramos b = 1,38629 - 3(0,33982) b = 1,38629 - 1,01946 b = 0,36683 , vamos usar a Equação 6 para achar :

Passo 8

Por fim, voltamos à Equação 1 para encontrar a + b + c = 0 0,33982 + 0,36683 + c = 0 0,70665 + c = 0 c = -0,70665 :

Resposta

O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3 é:
p(x) = 0,33982,x^2 + 0,36683,x - 0,70665

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