Seja
e a tabela abaixo:
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1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
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0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos da tabela fornecida. Isso envolve um conceito chamado interpolação polinomial, que basicamente é encontrar um polinômio que “liga os pontos” dados. Aqui, vamos precisar usar álgebra para montar e resolver um sistema de equações que nos dará os coeficientes desse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é um polinômio de grau 2. A forma geral dele é:
Onde
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos usar os pontos da tabela para montar equações. Temos três pontos:
,
e
. Vamos substituir cada par
na equação do polinômio.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, podemos simplificar subtraindo a Equação 1 das Equações 2 e 3 para eliminar o
.
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação 5 para
:
Passo 6
Agora, substituímos a Equação 6 na Equação 4:
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos usar a Equação 6 para achar
:
Passo 8
Por fim, voltamos à Equação 1 para encontrar
:
Resposta
O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3 é:
Exercícios relacionados
Seja
e a tabela abaixo:
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1 | 1,5 | 2 |
---|---|---|---|
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0 | 0,60819 | 1,38629 |
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Seja
e a tabela abaixo:
|
0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
---|---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 | 3,16994 |
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Seja
e a tabela abaixo:
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0 |
|
1 |
|
---|---|---|---|---|
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1 | 0 | -1 | 0 |
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para utilizando um polinômio de grau 1.
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para
(3,0) A derivada de
é dada por
Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em
? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).