Seja f(x)=cos (pi x) e a tabela abaixo:
x 0 1 / 2 1 3 / 2
f(x) 1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para f(9 / 20) utilizando um polinômio de grau 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, vamos entender o que está pedindo. A função dada é e temos uma tabela com alguns valores de e . A pergunta é para aproximar usando um polinômio de grau 1. Isso significa que vamos usar uma reta (já que um polinômio de grau 1 é uma linha reta) para estimar o valor de em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 1. É basicamente uma função da forma , onde e são constantes que determinam a inclinação e a posição da reta. Nosso objetivo é encontrar e de forma que a reta passe pelos pontos mais próximos de na tabela.

Passo 3

Observando a tabela, vemos que está entre e . Então, vamos usar esses dois pontos para construir nosso polinômio de grau 1. Os pontos são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Para isso, vamos calcular o coeficiente a = f(x2) - f(x1)x2 - x1 (inclinação) usando a fórmula:
a = 0 - 112 - 0 = -112 = -2
Substituindo os valores:

Passo 5

Com o valor de f(0) = a cdot 0 + b = 1 implies b = 1 , agora encontramos P(x) = -2x + 1 usando um dos pontos. Vamos usar o ponto :
Portanto, a equação do polinômio de grau 1 é:

Passo 6

Finalmente, para encontrar P(920) = -2 cdot 920 + 1 = -1820 + 1 = -910 + 1 = 110 , substituímos na equação do polinômio:

Resposta

A aproximação de usando um polinômio de grau 1 é .

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