Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
Tabela 4: Tabela do Exercício 5
Faça o que se pede:
a) Encontre uma aproximação para utilizando um polinômio de grau 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, vamos entender o que está pedindo. A função dada é e temos uma tabela com alguns valores de e . A pergunta é para aproximar usando um polinômio de grau 1. Isso significa que vamos usar uma reta (já que um polinômio de grau 1 é uma linha reta) para estimar o valor de em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 1. É basicamente uma função da forma , onde e são constantes que determinam a inclinação e a posição da reta. Nosso objetivo é encontrar e de forma que a reta passe pelos pontos mais próximos de na tabela.

Passo 3

Observando a tabela, vemos que está entre e . Então, vamos usar esses dois pontos para construir nosso polinômio de grau 1. Os pontos são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Para isso, vamos calcular o coeficiente (inclinação) usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Com o valor de , agora encontramos usando um dos pontos. Vamos usar o ponto :
Portanto, a equação do polinômio de grau 1 é:

Passo 6

Finalmente, para encontrar , substituímos na equação do polinômio:

Resposta

A aproximação de usando um polinômio de grau 1 é .

Exercícios relacionados

Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 3.
Seja e a tabela abaixo:
1 1,5 2
0 0,60819 1,38629
Tabela 3: Tabela do Exercício 3
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de e calcule o erro de truncamento envolvido nessa aproximação.
(3,0) A derivada de é dada por
Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em ? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).
(2,0) Encontre a profundidade y utilizando o Método da Bisseção iniciando em e , com tolerância de . Faça no máximo 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro .