(3,0) Deseja-se encontrar o zero da seguinte função:
f(x)=-2 x^6-1.5 x^4+10 x+2
Sabendo que o valor inicial foi x=1, são dadas as primeiras 3 iterações. Prossiga com o processo iterativo de Newton Raphson até o erro 1% ou até o máximo de 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro $= f(x) $.
=|f(x)| x erro
2.06250000 -158.4736 158.4736
1.73942158 -49.7306 49.7306
1.50556293 -13.9443 13.9443
Formulário:
Método da Bisseção:
f(x)
Método das Cordas:
xk+1=a+b2
Método de Newton-Raphson:
xk+1=a cdot f(b)-b cdot f(a)f(b)-f(a)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Numérico e é usado para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para aplicar o método, precisamos da derivada da função e de um valor inicial, que neste caso é . O objetivo é continuar as iterações até que o erro seja menor ou igual a 1%, ou até completar no máximo 10 iterações.

Passo 2

Iteração 4
A última iteração conhecida é f'(x) = -12x^5 -6x^3 +10 com f'(1.50556293) = -12(1.50556293)^5 -6(1.50556293)^3 +10 approx -103.3642 .
Primeiro, calculamos a derivada da função nesse ponto:
x4 = x3 - f(x3)f'(x3) = 1.50556293 - -13.9443-103.3642 approx 1.50556293 - 0.135 approx 1.3706
Substituindo f(1.3706) = -2(1.3706)^6 -1.5(1.3706)^4 +10(1.3706) +2 approx 1.9905 :
erro = |f(x4)| = 1.9905
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculamos :
O erro é:
Como o erro ainda é maior que 1%, seguimos para a próxima iteração.

Passo 3

Iteração 5
Agora, f'(1.3706) = -12(1.3706)^5 -6(1.3706)^3 +10 approx -63.128 e x5 = x4 - f(x4)f'(x4) = 1.3706 - 1.9905-63.128 approx 1.3706 + 0.0316 approx 1.4022 .
Calculamos a derivada:
f(1.4022) = -2(1.4022)^6 -1.5(1.4022)^4 +10(1.4022) +2 approx -4.255
Aplicamos a fórmula:
erro = |f(x5)| = 4.255
Calculamos :
O erro é:
Como o erro ainda é maior que 1%, continuamos.

Passo 4

Iteração 6
Agora, f'(1.4022) = -12(1.4022)^5 -6(1.4022)^3 +10 approx -128.47 e x6 = x5 - f(x5)f'(x5) = 1.4022 - -4.255-128.47 approx 1.4022 - 0.0331 approx 1.3691 .
Calculamos a derivada:
f(1.3691) = -2(1.3691)^6 -1.5(1.3691)^4 +10(1.3691) +2 approx 0.252
Aplicamos a fórmula:
erro = |f(x6)| = 0.252
Calculamos :
O erro é:
Agora, o erro é menor que 1%, então podemos encerrar as iterações.

Resposta

A raiz aproximada da função utilizando o método de Newton-Raphson é com um erro de (menor que 1%).

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