(3,0) Deseja-se encontrar o zero da seguinte função:
Sabendo que o valor inicial foi , são dadas as primeiras 3 iterações. Prossiga com o processo iterativo de Newton Raphson até o erro ou até o máximo de 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro $= f(x) $.
erro
2.06250000 -158.4736 158.4736
1.73942158 -49.7306 49.7306
1.50556293 -13.9443 13.9443
Formulário:
Método da Bisseção:

Método das Cordas:

Método de Newton-Raphson:

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Numérico e é usado para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para aplicar o método, precisamos da derivada da função e de um valor inicial, que neste caso é . O objetivo é continuar as iterações até que o erro seja menor ou igual a 1%, ou até completar no máximo 10 iterações.

Passo 2

Iteração 4
A última iteração conhecida é com .
Primeiro, calculamos a derivada da função nesse ponto:
Substituindo :
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculamos :
O erro é:
Como o erro ainda é maior que 1%, seguimos para a próxima iteração.

Passo 3

Iteração 5
Agora, e .
Calculamos a derivada:
Aplicamos a fórmula:
Calculamos :
O erro é:
Como o erro ainda é maior que 1%, continuamos.

Passo 4

Iteração 6
Agora, e .
Calculamos a derivada:
Aplicamos a fórmula:
Calculamos :
O erro é:
Agora, o erro é menor que 1%, então podemos encerrar as iterações.

Resposta

A raiz aproximada da função utilizando o método de Newton-Raphson é com um erro de (menor que 1%).

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(3,0) A derivada de é dada por
Você espera ter dificuldades calculando essa função (derivada) em ? Tente isso usando três e quatro algarismos significativos, com truncamento. Comente o resultado. Justifique os resultados obtidos (dica: calcule o valor da função derivada sem restrições de máquina pra comparar).
Seja o problema de valor inicial . Determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função , considerando o erro menor que . Fornecer os valores de e da função em cada iteração do(s) método(s) numérico(s) utilizado(s) e o respectivo desenvolvimento teórico.
Seja o sistema , com e .
(b) Diga, justificando, que valores pode tomar o parâmetro de modo a poder aplicar o método iterativo de Gauss-Jacobi na aproximação da resolução do sistema.