(2,0) Encontre a profundidade y utilizando o Método da Bisseção iniciando em e , com tolerância de . Faça no máximo 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a profundidade usando o Método da Bisseção. A gente começa com e , com uma tolerância de e no máximo 10 iterações. O que a gente vai precisar é entender como o Método da Bisseção funciona, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas, ou seja, valores de que fazem .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método da Bisseção. A gente começa com um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo, segundo o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Precisamos verificar se e têm sinais opostos. Se não tiver, a gente escolhe outro intervalo. Supondo que sim, a gente sabe que tem pelo menos uma raiz entre 1,5 e 1,75.

Passo 4

Agora, calculamos o ponto médio do intervalo:
Vamos calcular para ver onde a raiz está.

Passo 5

Depois, comparamos o sinal de com :
  • Se tiver o mesmo sinal de , a raiz está entre e , então atualizamos para .
  • Se tiver o mesmo sinal de , a raiz está entre e , então atualizamos para .

Passo 6

A gente repete esse processo, recalculando o ponto médio e atualizando os valores de ou conforme necessário, até que a diferença entre e seja menor que a tolerância de , ou até completar 10 iterações.

Passo 7

Vamos calcular a tolerância em termos absolutos. A tolerância de em relação ao intervalo inicial é:
â
Então, vamos parar quando ou quando o erro for menor que essa tolerância.

Passo 8

Vamos resumir os passos:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Determinar em qual subintervalo a raiz está.
  4. Atualizar ou com .
  5. Verificar a tolerância ou o número máximo de iterações.
  6. Repetir até atingir a condição de parada.

Passo 9

Como o exercício pede para fazer no máximo 10 iterações, a gente vai seguir o processo até chegar nesse limite, garantindo que a gente encontre uma aproximação da raiz dentro da tolerância desejada.

Resposta

Após seguir os passos do Método da Bisseção até atingir a tolerância de ou completar 10 iterações, a profundidade aproximada que satisfaz é .

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Seja e a tabela abaixo:
0 1
1 0 -1 0
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Faça o que se pede:
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Sabendo que o valor inicial foi , são dadas as primeiras 3 iterações. Prossiga com o processo iterativo de Newton Raphson até o erro ou até o máximo de 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro $= f(x) $.
erro
2.06250000 -158.4736 158.4736
1.73942158 -49.7306 49.7306
1.50556293 -13.9443 13.9443
Formulário:
Método da Bisseção:

Método das Cordas:

Método de Newton-Raphson:
Seja o problema de valor inicial . Determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função , considerando o erro menor que . Fornecer os valores de e da função em cada iteração do(s) método(s) numérico(s) utilizado(s) e o respectivo desenvolvimento teórico.