(2,0) Encontre a profundidade y utilizando o Método da Bisseção iniciando em a=1,5 e b=1,75, com tolerância de 1%. Faça no máximo 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro =|f(x)|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a profundidade usando o Método da Bisseção. A gente começa com e , com uma tolerância de e no máximo 10 iterações. O que a gente vai precisar é entender como o Método da Bisseção funciona, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas, ou seja, valores de que fazem .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método da Bisseção. A gente começa com um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo, segundo o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Precisamos verificar se e têm sinais opostos. Se não tiver, a gente escolhe outro intervalo. Supondo que sim, a gente sabe que tem pelo menos uma raiz entre 1,5 e 1,75.

Passo 4

Agora, calculamos o ponto médio do intervalo:
c = a + b2 = 1,5 + 1,752 = 1,625
Vamos calcular para ver onde a raiz está.

Passo 5

Depois, comparamos o sinal de com :
  • Se tiver o mesmo sinal de , a raiz está entre e , então atualizamos para .
  • Se tiver o mesmo sinal de , a raiz está entre e , então atualizamos para .

Passo 6

A gente repete esse processo, recalculando o ponto médio e atualizando os valores de ou conforme necessário, até que a diferença entre e seja menor que a tolerância de , ou até completar 10 iterações.

Passo 7

Vamos calcular a tolerância em termos absolutos. A tolerância de To<=rância = 0,01 times (1,75 - 1,5) = 0,01 times 0,25 = 0,0025 em relação ao intervalo inicial é:
â
Então, vamos parar quando ou quando o erro for menor que essa tolerância.

Passo 8

Vamos resumir os passos:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Determinar em qual subintervalo a raiz está.
  4. Atualizar ou com .
  5. Verificar a tolerância ou o número máximo de iterações.
  6. Repetir até atingir a condição de parada.

Passo 9

Como o exercício pede para fazer no máximo 10 iterações, a gente vai seguir o processo até chegar nesse limite, garantindo que a gente encontre uma aproximação da raiz dentro da tolerância desejada.

Resposta

Após seguir os passos do Método da Bisseção até atingir a tolerância de ou completar 10 iterações, a profundidade aproximada que satisfaz é .

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