(2,0) Encontre a profundidade y utilizando o Método da Bisseção iniciando em
e
, com tolerância de
. Faça no máximo 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a profundidade
usando o Método da Bisseção. A gente começa com
e
, com uma tolerância de
e no máximo 10 iterações. O que a gente vai precisar é entender como o Método da Bisseção funciona, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas, ou seja, valores de
que fazem
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método da Bisseção. A gente começa com um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo, segundo o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
No nosso caso, temos
e
. Precisamos verificar se
e
têm sinais opostos. Se não tiver, a gente escolhe outro intervalo. Supondo que sim, a gente sabe que tem pelo menos uma raiz entre 1,5 e 1,75.
Passo 4
Agora, calculamos o ponto médio do intervalo:
Vamos calcular
para ver onde a raiz está.
Passo 5
Depois, comparamos o sinal de
com
:
- Se
tiver o mesmo sinal de , a raiz está entre e , então atualizamos para . - Se
tiver o mesmo sinal de , a raiz está entre e , então atualizamos para .
Passo 6
A gente repete esse processo, recalculando o ponto médio e atualizando os valores de
ou
conforme necessário, até que a diferença entre
e
seja menor que a tolerância de
, ou até completar 10 iterações.
Passo 7
Vamos calcular a tolerância em termos absolutos. A tolerância de
em relação ao intervalo inicial
é:
Então, vamos parar quando
ou quando o erro
for menor que essa tolerância.
Passo 8
Vamos resumir os passos:
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Determinar em qual subintervalo a raiz está.
- Atualizar
ou com . - Verificar a tolerância ou o número máximo de iterações.
- Repetir até atingir a condição de parada.
Passo 9
Como o exercício pede para fazer no máximo 10 iterações, a gente vai seguir o processo até chegar nesse limite, garantindo que a gente encontre uma aproximação da raiz dentro da tolerância desejada.
Resposta
Após seguir os passos do Método da Bisseção até atingir a tolerância de
ou completar 10 iterações, a profundidade
aproximada que satisfaz
é
.