Derive.
(e) y=raiz[3]2^x+3^-x+5^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos derivar essa função, ou seja, encontrar . Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
y = (2^x + 3^-x + 5^x)^13
A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas. Basicamente, se temos uma função dydx = n cdot u^n-1 cdot dudx , onde é uma função de , a derivada é:

Passo 3

Vamos identificar u = 2^x + 3^-x + 5^x e n = 13 e dydx = 13 cdot (2^x + 3^-x + 5^x)^13 - 1 cdot dudx na nossa função:
13 - 1 = -23
Agora, aplicando a regra da cadeia:
dydx = 13 cdot (2^x + 3^-x + 5^x)^-23 cdot dudx
Simplificando o expoente:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos derivar dudx = ddx(2^x) + ddx(3^-x) + ddx(5^x) em relação a dudx = 2^x ln(2) + (-1) cdot 3^-x ln(3) + 5^x ln(5) :
dudx = 2^x ln(2) - 3^-x ln(3) + 5^x ln(5)
Sabemos que a derivada de é . Aplicando isso:

Resposta

Substituindo dydx = 13 cdot (2^x + 3^-x + 5^x)^-23 cdot (2^x ln(2) - 3^-x ln(3) + 5^x ln(5)) de volta na expressão da derivada, temos:
boxeddydx = 2^x ln(2) - 3^-x ln(3) + 5^x ln(5)3 (2^x + 3^-x + 5^x)^23
Em termos mais simples:

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