Prove que:
(b)
, para
.
(b)
Passo 1
Então, a gente precisa provar que a função inversa do cosseno hiperbólico, representada por
, é igual a
, onde
é maior ou igual a 1. Vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e logaritmos naturais para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico, que é definida por:
A função inversa,
, nos dá o valor de
tal que
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos começar resolvendo a equação
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Rearranjando a equação:
Isso é uma equação quadrática em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Seja
:
As soluções são:
Passo 6
Como
, descartamos a solução negativa:
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Use aproximação linear para estimar o número dado.
©
©
Derive.
(e)
(e)
(Funções Periódicas) Uma função
é periódica de período
se
para todo
. Mostre que:
© A função é periódica se e só se
é racional.
© A função
(a) Se
for contínua e periódica, então
é limitada e atinge seus extremos.