Prove que:
(b) cosh ^-1 x=ln (x+raizx^2-1), para x >= 1.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que a função inversa do cosseno hiperbólico, representada por cosh^-1 x, é igual a ln (x + raizx^2-1), onde x é maior ou igual a 1. Vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e logaritmos naturais para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico, que é definida por:
cosh y = e^y + e^-y2
A função inversa, cosh^-1 x, nos dá o valor de y tal que cosh y = x.

Passo 3

Para encontrar cosh^-1 x, vamos começar resolvendo a equação cosh y = x:
e^y + e^-y2 = x
Multiplicando ambos os lados por 2:
e^y + e^-y = 2x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por e^y para eliminar o termo e^-y:
e^2y + 1 = 2x e^y
Rearranjando a equação:
e^2y - 2x e^y + 1 = 0
Isso é uma equação quadrática em termos de e^y.

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Seja z = e^y:
z^2 - 2x z + 1 = 0
As soluções são:
z = 2x pm raiz(2x)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = 2x pm raiz4x^2 - 42 = x pm raizx^2 - 1

Passo 6

Como z = e^y > 0, descartamos a solução negativa:
e^y = x + raizx^2 - 1
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para y:
y = ln (x + raizx^2 - 1)

Resposta

Portanto, provamos que:
cosh^-1 x = ln (x + raizx^2-1), para x >= 1

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