Prove que:
(b) , para .

Passo 1

Então, a gente precisa provar que a função inversa do cosseno hiperbólico, representada por , é igual a , onde é maior ou igual a 1. Vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e logaritmos naturais para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico, que é definida por:
A função inversa, , nos dá o valor de tal que .

Passo 3

Para encontrar , vamos começar resolvendo a equação :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o termo :
Rearranjando a equação:
Isso é uma equação quadrática em termos de .

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Seja :
As soluções são:

Passo 6

Como , descartamos a solução negativa:
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Use aproximação linear para estimar o número dado.
©
Derive.
(e)
(Funções Periódicas) Uma função é periódica de período se para todo . Mostre que:
© A função é periódica se e só se é racional.
(a) Se for contínua e periódica, então é limitada e atinge seus extremos.