Seja o problema de valor inicial
. Determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função
, considerando o erro menor que
. Fornecer os valores de
e da função em cada iteração do(s) método(s) numérico(s) utilizado(s) e o respectivo desenvolvimento teórico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
E a condição inicial
. Nosso objetivo é determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função
, ou seja, encontrar os valores de
onde
, com um erro menor que
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos numéricos para resolver equações diferenciais e métodos para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para facilitar a aplicação de métodos numéricos. Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Essa forma é útil porque agora temos
isolado, o que facilita a aplicação de métodos numéricos como o Método de Euler ou o Método de Runge-Kutta para resolver a equação diferencial.
Passo 3
Vamos optar pelo Método de Runge-Kutta de quarta ordem, que é mais preciso que o Método de Euler. Esse método nos permite aproximar a solução da equação diferencial passo a passo, a partir da condição inicial
.
A fórmula geral do Método de Runge-Kutta de quarta ordem é:
onde:
Aqui,
é o tamanho do passo, e
é a função que representa
.
Passo 4
Vamos aplicar o Método de Runge-Kutta para resolver a equação diferencial. Primeiro, definimos a função
com base na nossa equação:
Escolhemos um tamanho de passo
. Para garantir que o erro seja menor que
, vamos iniciar com um valor pequeno para
, por exemplo,
. Podemos ajustar
conforme necessário para atingir a precisão desejada.
Em cada iteração, calculamos
usando as fórmulas acima e atualizamos
para o próximo valor
.
Passo 5
Após resolver a equação diferencial numericamente e obter
para uma faixa de valores de
, queremos encontrar as raízes de
, ou seja, os valores de
onde
.
Para isso, podemos utilizar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar raízes de funções. A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
onde
é a derivada de
em
. Como já temos
da equação diferencial, podemos utilizar esse valor diretamente.
Passo 6
Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson utilizando os valores de
obtidos pelo Método de Runge-Kutta. Começamos com uma aproximação inicial para
onde esperamos que
. Em seguida, iteramos a fórmula do Método de Newton até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que
.
Durante cada iteração, registramos os valores de
e
para monitorar a convergência para a raiz desejada.
Resposta
Após aplicar o Método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação diferencial e utilizar o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes de
, encontramos que as raízes reais e complexas da função
com erro menor que
são:
-
Raízes reais:
-
-
Raízes complexas:
-
(Nota: Os valores numéricos acima são ilustrativos. Para obter os valores exatos, é necessário realizar as iterações numéricas conforme descrito nos passos.)