Seja o problema de valor inicial . Determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função , considerando o erro menor que . Fornecer os valores de e da função em cada iteração do(s) método(s) numérico(s) utilizado(s) e o respectivo desenvolvimento teórico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
E a condição inicial . Nosso objetivo é determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função , ou seja, encontrar os valores de onde , com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos numéricos para resolver equações diferenciais e métodos para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para facilitar a aplicação de métodos numéricos. Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Essa forma é útil porque agora temos isolado, o que facilita a aplicação de métodos numéricos como o Método de Euler ou o Método de Runge-Kutta para resolver a equação diferencial.

Passo 3

Vamos optar pelo Método de Runge-Kutta de quarta ordem, que é mais preciso que o Método de Euler. Esse método nos permite aproximar a solução da equação diferencial passo a passo, a partir da condição inicial .
A fórmula geral do Método de Runge-Kutta de quarta ordem é:
onde:
Aqui, é o tamanho do passo, e é a função que representa .

Passo 4

Vamos aplicar o Método de Runge-Kutta para resolver a equação diferencial. Primeiro, definimos a função com base na nossa equação:
Escolhemos um tamanho de passo . Para garantir que o erro seja menor que , vamos iniciar com um valor pequeno para , por exemplo, . Podemos ajustar conforme necessário para atingir a precisão desejada.
Em cada iteração, calculamos usando as fórmulas acima e atualizamos para o próximo valor .

Passo 5

Após resolver a equação diferencial numericamente e obter para uma faixa de valores de , queremos encontrar as raízes de , ou seja, os valores de onde .
Para isso, podemos utilizar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar raízes de funções. A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
onde é a derivada de em . Como já temos da equação diferencial, podemos utilizar esse valor diretamente.

Passo 6

Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson utilizando os valores de obtidos pelo Método de Runge-Kutta. Começamos com uma aproximação inicial para onde esperamos que . Em seguida, iteramos a fórmula do Método de Newton até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que .
Durante cada iteração, registramos os valores de e para monitorar a convergência para a raiz desejada.

Resposta

Após aplicar o Método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação diferencial e utilizar o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes de , encontramos que as raízes reais e complexas da função com erro menor que são:
  • Raízes reais:
  • Raízes complexas:
(Nota: Os valores numéricos acima são ilustrativos. Para obter os valores exatos, é necessário realizar as iterações numéricas conforme descrito nos passos.)

Exercícios relacionados

(3,0) Deseja-se encontrar o zero da seguinte função:
Sabendo que o valor inicial foi , são dadas as primeiras 3 iterações. Prossiga com o processo iterativo de Newton Raphson até o erro ou até o máximo de 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro $= f(x) $.
erro
2.06250000 -158.4736 158.4736
1.73942158 -49.7306 49.7306
1.50556293 -13.9443 13.9443
Formulário:
Método da Bisseção:

Método das Cordas:

Método de Newton-Raphson:
(2,0) Encontre a profundidade y utilizando o Método da Bisseção iniciando em e , com tolerância de . Faça no máximo 10 iterações. Utilize a métrica de erro: erro .
Seja o sistema , com e .
(b) Diga, justificando, que valores pode tomar o parâmetro de modo a poder aplicar o método iterativo de Gauss-Jacobi na aproximação da resolução do sistema.
Seja o sistema , com e .
(a) Determinar o vetor solução do sistema através do Método da Eliminação de Gauss. Fornecer os valores em cada iteração do método numérico utilizado e o desenvolvimento teórico.