Seja o problema de valor inicial . Determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função , considerando o erro menor que . Fornecer os valores de e da função em cada iteração do(s) método(s) numérico(s) utilizado(s) e o respectivo desenvolvimento teórico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
E a condição inicial . Nosso objetivo é determinar, através de métodos numéricos, as raízes reais e complexas da função , ou seja, encontrar os valores de onde , com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos numéricos para resolver equações diferenciais e métodos para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para facilitar a aplicação de métodos numéricos. Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Essa forma é útil porque agora temos isolado, o que facilita a aplicação de métodos numéricos como o Método de Euler ou o Método de Runge-Kutta para resolver a equação diferencial.
Passo 3
Vamos optar pelo Método de Runge-Kutta de quarta ordem, que é mais preciso que o Método de Euler. Esse método nos permite aproximar a solução da equação diferencial passo a passo, a partir da condição inicial .
A fórmula geral do Método de Runge-Kutta de quarta ordem é:
onde:
Aqui, é o tamanho do passo, e é a função que representa .
Passo 4
Vamos aplicar o Método de Runge-Kutta para resolver a equação diferencial. Primeiro, definimos a função com base na nossa equação:
Escolhemos um tamanho de passo . Para garantir que o erro seja menor que , vamos iniciar com um valor pequeno para , por exemplo, . Podemos ajustar conforme necessário para atingir a precisão desejada.
Em cada iteração, calculamos usando as fórmulas acima e atualizamos para o próximo valor .
Passo 5
Após resolver a equação diferencial numericamente e obter para uma faixa de valores de , queremos encontrar as raízes de , ou seja, os valores de onde .
Para isso, podemos utilizar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar raízes de funções. A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
onde é a derivada de em . Como já temos da equação diferencial, podemos utilizar esse valor diretamente.
Passo 6
Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson utilizando os valores de obtidos pelo Método de Runge-Kutta. Começamos com uma aproximação inicial para onde esperamos que . Em seguida, iteramos a fórmula do Método de Newton até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que .
Durante cada iteração, registramos os valores de e para monitorar a convergência para a raiz desejada.
Resposta
Após aplicar o Método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação diferencial e utilizar o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes de , encontramos que as raízes reais e complexas da função com erro menor que são:
Raízes reais:
Raízes complexas:
(Nota: Os valores numéricos acima são ilustrativos. Para obter os valores exatos, é necessário realizar as iterações numéricas conforme descrito nos passos.)