Seja o sistema , com e x=[lx1 x2 x3].
(b) Diga, justificando, que valores pode tomar o parâmetro alpha de modo a poder aplicar o método iterativo de Gauss-Jacobi na aproximação da resolução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de equações lineares representado por A x = b, onde a matriz A depende de um parâmetro alpha. A gente precisa descobrir quais valores de alpha permitem usar o método iterativo de Gauss-Jacobi para encontrar uma solução aproximada para esse sistema. Para isso, vamos precisar entender as condições que garantem que o método de Gauss-Jacobi converge.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa usada para resolver sistemas de equações lineares. A chave para esse método funcionar é que a matriz do sistema tenha propriedades que assegurem que as iterações vão, de fato, se aproximar da solução verdadeira. Uma dessas propriedades é a diagonal dominante.
Passo 3
Então, o que é uma matriz diagonal dominante? É quando, para cada linha da matriz, o valor absoluto do elemento na diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos dessa linha. Matematicamente, para a matriz A, isso fica assim:
|aii| >= sumj neq i |aij|
Se a matriz for estritamente diagonal dominante (ou seja, a desigualdade é estrita para pelo menos uma linha), isso garante que o método de Gauss-Jacobi vai convergir.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa matriz A:
A = 3 & 2 & 0 1 & alpha & -3 4 & -2 & 6
Agora, vamos verificar a diagonal dominante para cada linha.
Primeira linha:
|3| >= |2| + |0| implies 3 >= 2
Isso é verdade.
Segunda linha:
|alpha| >= |1| + |3| implies |alpha| >= 4
Ou seja, o valor absoluto de alpha deve ser pelo menos 4.
Terceira linha:
|6| >= |4| + |2| implies 6 >= 6
Isso também é verdade.
Passo 5
Então, para que a matriz A seja diagonalmente dominante em todas as linhas, precisamos que a segunda linha satisfaça |alpha| >= 4. Isso garante que o método de Gauss-Jacobi vai convergir para a solução do sistema.
Resposta
O parâmetro alpha deve satisfazer |alpha| >= 4 para que seja possível aplicar o método iterativo de Gauss-Jacobi na aproximação da resolução do sistema.