Seja , para qual zero de o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou envolve encontrar as raízes da função usando o Método da Bissecção no intervalo . A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre Métodos Numéricos para encontrar raízes de funções, mais especificamente o Método da Bissecção. Para resolver isso, vamos precisar entender como o método funciona e identificar onde a função muda de sinal no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as raízes da função dentro do intervalo . Olhando a forma fatorada da função:
As raízes são os valores de que fazem cada fator igual a zero:
  • (com multiplicidade 2)
  • (com multiplicidade 3)
No intervalo , as raízes são , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas raízes fazem a função mudar de sinal no intervalo . O Método da Bissecção só funciona quando há uma mudança de sinal na função, ou seja, quando e têm sinais opostos ( ).
  • Para :
    Vamos calcular e .
    é
    Aqui, você tem um sinal positivo em e zero em , indicando uma mudança de sinal próximo a .
  • Para :
    Esta raiz tem multiplicidade par (2), o que significa que a função toca o eixo e não muda de sinal aqui. Então, o Método da Bissecção não vai convergir para .
  • Para :
    Vamos calcular e .
    é
    Aqui, novamente, temos um sinal positivo em e zero em , indicando uma mudança de sinal próximo a .

Passo 4

Com base nisso, as raízes que fazem a função mudar de sinal dentro do intervalo são e . O Método da Bissecção pode ser aplicado para ambas, pois em cada caso há uma mudança de sinal na função.

Resposta

As raízes para as quais o Método da Bissecção converge no intervalo são:

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Seja uma função onde e a raiz vale 9. Explique por que o método de Newton não é uma boa alternativa se começarmos com próxima de 10.
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão .