Seja f(x)=(x+2)(x+1)^2 x(x-1)^3(x-2), para qual zero de f o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
[-3 ; 0,5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou envolve encontrar as raízes da função usando o Método da Bissecção no intervalo . A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre Métodos Numéricos para encontrar raízes de funções, mais especificamente o Método da Bissecção. Para resolver isso, vamos precisar entender como o método funciona e identificar onde a função muda de sinal no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as raízes da função f(x) = (x+2)(x+1)^2 x(x-1)^3(x-2) dentro do intervalo . Olhando a forma fatorada da função:
As raízes são os valores de que fazem cada fator igual a zero:
  • (com multiplicidade 2)
  • (com multiplicidade 3)
No intervalo , as raízes são , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas raízes fazem a função f(-3) = (-3+2)(-3+1)^2 cdot (-3) cdot (-3-1)^3 cdot (-3-2) = (-1)(4)(-3)(-64)(-5) = 3840 > 0 mudar de sinal no intervalo f(-2) = 0 (porque x = -2 é uma raiz) . O Método da Bissecção só funciona quando há uma mudança de sinal na função, ou seja, quando f(0.5) = (0.5+2)(0.5+1)^2 cdot 0.5 cdot (0.5-1)^3 cdot (0.5-2) e f(0.5) approx 0.527 > 0 têm sinais opostos ( f(0) = 0 (porque x = 0 é uma raiz) ).
  • Para :
    Vamos calcular e .
    é
    Aqui, você tem um sinal positivo em e zero em , indicando uma mudança de sinal próximo a .
  • Para :
    Esta raiz tem multiplicidade par (2), o que significa que a função toca o eixo e não muda de sinal aqui. Então, o Método da Bissecção não vai convergir para .
  • Para :
    Vamos calcular e .
    é
    Aqui, novamente, temos um sinal positivo em e zero em , indicando uma mudança de sinal próximo a .

Passo 4

Com base nisso, as raízes que fazem a função mudar de sinal dentro do intervalo são e . O Método da Bissecção pode ser aplicado para ambas, pois em cada caso há uma mudança de sinal na função.

Resposta

As raízes para as quais o Método da Bissecção converge no intervalo x = -2.000 e x = 0.000 são:

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