Desejamos aproximar o valor de log 2(5 / 2) por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de log 2(x) nos pontos x=1,2,4 e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de log 2(x),
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer aproximar o valor de log2(52) usando interpolação polinomial. Isso faz parte de uma área da matemática chamada Interpolação, que nos ajuda a estimar valores desconhecidos baseados em pontos que a gente já conhece. Para esse exercício, vamos focar na interpolação linear, que usa dois pontos para criar uma reta que aproxima o valor desejado. A gente vai precisar dos valores de log2(x) nos pontos x = 2 e x = 4 para montar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que vamos usar para a interpolação linear. Sabemos que:
  • Quando x = 2, log2(2) = 1
  • Quando x = 4, log2(4) = 2
Então, nossos pontos são (2, 1) e (4, 2). Esses pontos vão nos ajudar a encontrar a inclinação da reta que vamos usar para aproximar log2(52).

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença dividida, que na interpolação linear é basicamente a inclinação da reta que conecta os dois pontos. A fórmula para a inclinação m entre os pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando nossos valores:
m = 2 - 14 - 2 = 12
Então, a inclinação da nossa reta é 12.

Passo 4

Com a inclinação e um dos pontos, podemos montar a equação da reta usando a fórmula ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Vamos usar o ponto (2, 1):
y - 1 = 12(x - 2)
Simplificando:
y = 12x - 1 + 1 y = 12x
Portanto, o polinômio interpolador linear é:
P(x) = 12x

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar log2(52). Substituímos x por 52 na nossa equação:
P(52) = 12 times 52 = 54 = 1,25

Resposta

Aproximando por interpolação linear, log2(52) approx 1,25.

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