Desejamos aproximar o valor de
por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de
nos pontos
e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
(a) nos pontos 2 e 4 (linear);
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer aproximar o valor de
usando interpolação polinomial. Isso faz parte de uma área da matemática chamada Interpolação, que nos ajuda a estimar valores desconhecidos baseados em pontos que a gente já conhece. Para esse exercício, vamos focar na interpolação linear, que usa dois pontos para criar uma reta que aproxima o valor desejado. A gente vai precisar dos valores de
nos pontos
e
para montar essa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que vamos usar para a interpolação linear. Sabemos que:
- Quando
, - Quando
,
Então, nossos pontos são
e
. Esses pontos vão nos ajudar a encontrar a inclinação da reta que vamos usar para aproximar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença dividida, que na interpolação linear é basicamente a inclinação da reta que conecta os dois pontos. A fórmula para a inclinação
entre os pontos
e
é:
Aplicando nossos valores:
Então, a inclinação da nossa reta é
.
Passo 4
Com a inclinação e um dos pontos, podemos montar a equação da reta usando a fórmula ponto-inclinação:
Vamos usar o ponto
:
Simplificando:
Portanto, o polinômio interpolador linear é:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Substituímos
por
na nossa equação:
Resposta
Aproximando por interpolação linear,
.