Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única ;
  • O método de Newton converge para qualquer ;
  • O método de Newton diverge para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenharmos o gráfico de uma função que atende a algumas condições específicas. A gente vai precisar saber sobre gráficos de funções, derivadas e o Método de Newton para resolver isso. Vamos identificar o que cada condição significa e como podemos usar isso para construir a função.

Passo 2

Primeiro, precisa ser definida e diferenciável para todo . Isso significa que o gráfico de não tem “saltos”, “pontas” ou “buracos”. A função deve estar suave e contínua em todos os pontos.

Passo 3

A segunda condição diz que existe uma raiz única . Ou seja, o gráfico de cruza o eixo em apenas um ponto positivo . Então, nossa função vai tocar o eixo uma vez em algum lugar à direita da origem.

Passo 4

Agora, vamos pensar no Método de Newton. Esse método usa uma fórmula iterativa para encontrar as raízes de uma função, que é dada por:
Para que o Método de Newton convirja para quando começamos com , a inclinação da função (ou seja, a derivada ) precisa guiar as iterações para a raiz .

Passo 5

A condição de que o Método de Newton diverge para todo implica que, nessa região, as iterações não se aproximam de . Isso geralmente acontece se a derivada tiver um sinal que faz as iterações se afastarem da raiz ou se a função tiver uma concavidade que desvie as iterações.

Passo 6

Vamos propor uma função simples que atende a essas condições. Uma boa candidata é uma função linear, mas como precisamos de uma única raiz positiva e comportamento diferente em lados diferentes, uma função do tipo:
pode ser um bom começo. Entretanto, essa função é muito simples e o Método de Newton sempre converge em qualquer ponto, o que não atende a todas as condições.

Passo 7

Então, precisamos de algo mais complexo. Vamos considerar uma função quadrática que tenha uma única raiz positiva. Podemos usar:
Essa função tem uma raiz única em e é diferenciável em todo lugar. A derivada é:

Passo 8

Agora, vamos analisar o Método de Newton para essa função. Usando a fórmula:
Isso mostra que, independentemente do , as iterações vão convergir para .

Passo 9

Mas precisamos que o Método de Newton diverja para . A função quadrática proposta não atende essa condição, pois ela ainda converge para de qualquer ponto. Então, precisamos ajustar a função para que a derivada tenha o comportamento necessário para a divergência.

Passo 10

Vamos tentar uma função do tipo:
Esta função está definida para , mas não atende a condição de ser definida para todo . Então, precisamos de uma função que seja definida para todo e ainda tenha uma raiz única positiva.

Passo 11

Uma alternativa é usar uma função logística ou uma combinação de funções que satisfaça todas as condições. Por exemplo:
Mas isso também não garante um comportamento divergente para .

Passo 12

Finalmente, podemos escolher uma função que combine linear e quadrática, ajustando para que a derivada seja positiva para e negativa para , garantindo a convergência e divergência conforme necessário. Uma função adequada pode ser:
Isso proporciona uma raiz única em e o comportamento desejado para o Método de Newton.

Resposta

A função que satisfaz todas as condições é:
O gráfico dessa função é suave, cruzando o eixo apenas em . Para , o Método de Newton converge para , e para , o método diverge, atendendo assim a todas as condições pedidas.

Exercícios relacionados

O método
(a) Demonstre que isso é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson.
(b) Realize duas iterações do método de Newton, calculando o erro relativo em cada iteração, para achar .
Converter o número seguinte da base 10 para base 8:
.
O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde e .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .
Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).