Desenhe o gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
-
é definida e diferenciável para todo
;
- Existe uma raiz única
;
- O método de Newton converge para qualquer
;
- O método de Newton diverge para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenharmos o gráfico de uma função
que atende a algumas condições específicas. A gente vai precisar saber sobre gráficos de funções, derivadas e o Método de Newton para resolver isso. Vamos identificar o que cada condição significa e como podemos usar isso para construir a função.
Passo 2
Primeiro,
precisa ser definida e diferenciável para todo
. Isso significa que o gráfico de
não tem “saltos”, “pontas” ou “buracos”. A função deve estar suave e contínua em todos os pontos.
Passo 3
A segunda condição diz que existe uma raiz única
. Ou seja, o gráfico de
cruza o eixo
em apenas um ponto positivo
. Então, nossa função vai tocar o eixo
uma vez em algum lugar à direita da origem.
Passo 4
Agora, vamos pensar no Método de Newton. Esse método usa uma fórmula iterativa para encontrar as raízes de uma função, que é dada por:
Para que o Método de Newton convirja para
quando começamos com
, a inclinação da função (ou seja, a derivada
) precisa guiar as iterações para a raiz
.
Passo 5
A condição de que o Método de Newton diverge para todo
implica que, nessa região, as iterações não se aproximam de
. Isso geralmente acontece se a derivada
tiver um sinal que faz as iterações se afastarem da raiz ou se a função tiver uma concavidade que desvie as iterações.
Passo 6
Vamos propor uma função simples que atende a essas condições. Uma boa candidata é uma função linear, mas como precisamos de uma única raiz positiva e comportamento diferente em lados diferentes, uma função do tipo:
pode ser um bom começo. Entretanto, essa função é muito simples e o Método de Newton sempre converge em qualquer ponto, o que não atende a todas as condições.
Passo 7
Então, precisamos de algo mais complexo. Vamos considerar uma função quadrática que tenha uma única raiz positiva. Podemos usar:
Essa função tem uma raiz única em
e é diferenciável em todo lugar. A derivada é:
Passo 8
Agora, vamos analisar o Método de Newton para essa função. Usando a fórmula:
Isso mostra que, independentemente do
, as iterações vão convergir para
.
Passo 9
Mas precisamos que o Método de Newton diverja para
. A função quadrática proposta não atende essa condição, pois ela ainda converge para
de qualquer ponto. Então, precisamos ajustar a função para que a derivada tenha o comportamento necessário para a divergência.
Passo 10
Vamos tentar uma função do tipo:
Esta função está definida para
, mas não atende a condição de ser definida para todo
. Então, precisamos de uma função que seja definida para todo
e ainda tenha uma raiz única positiva.
Passo 11
Uma alternativa é usar uma função logística ou uma combinação de funções que satisfaça todas as condições. Por exemplo:
Mas isso também não garante um comportamento divergente para
.
Passo 12
Finalmente, podemos escolher uma função que combine linear e quadrática, ajustando para que a derivada seja positiva para
e negativa para
, garantindo a convergência e divergência conforme necessário. Uma função adequada pode ser:
Isso proporciona uma raiz única em
e o comportamento desejado para o Método de Newton.
Resposta
A função
que satisfaz todas as condições é:
O gráfico dessa função é suave, cruzando o eixo
apenas em
. Para
, o Método de Newton converge para
, e para
, o método diverge, atendendo assim a todas as condições pedidas.