O método
(a) Demonstre que isso é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson.
(b) Realize duas iterações do método de Newton, calculando o erro relativo em cada iteração, para achar .

Passo 1

Estamos com um exercício que pede para demonstrar que o método é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson. Além disso, precisamos realizar duas iterações do método de Newton para encontrar , calculando o erro relativo em cada iteração. Vamos usar conceitos de métodos numéricos, especificamente o método de Newton-Raphson, e entender como aplicar essa fórmula para calcular raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica utilizada para encontrar raízes de uma função , ou seja, valores de que satisfazem . A fórmula geral do método de Newton-Raphson é:
Aqui, é a aproximação atual, é o valor da função na aproximação atual, e é a derivada da função na mesma aproximação.

Passo 3

Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar . Para isso, escolhemos a função:
Queremos encontrar tal que , ou seja, , o que nos dá . A derivada dessa função é:
Substituindo na fórmula do Newton-Raphson:
Isso mostra que o método dado no enunciado é equivalente ao método de Newton-Raphson aplicado à função .

Passo 4

Agora, vamos realizar duas iterações do método de Newton para encontrar . Escolhemos e iniciamos com um palpite inicial . Vamos escolher .
A fórmula do método fica:
Primeira iteração ( ):
Calculando o erro relativo:

Passo 5

Segunda iteração ( ):
Calculando o erro relativo:

Resposta

(a) A expressão é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson aplicado à função .
(b) Após duas iterações do método de Newton para encontrar , obtemos:
  • Primeira iteração: com erro relativo de
  • Segunda iteração: com erro relativo de

Exercícios relacionados

Converter o número seguinte da base 10 para base 8:
.
Converter o número seguinte da base 4 para base 10:
.
Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única ;
  • O método de Newton converge para qualquer ;
  • O método de Newton diverge para todo .
O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde e .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .