(a) Demonstre que isso é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson.
(b) Realize duas iterações do método de Newton, calculando o erro relativo em cada iteração, para achar .
Passo 1
Estamos com um exercício que pede para demonstrar que o método é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson. Além disso, precisamos realizar duas iterações do método de Newton para encontrar , calculando o erro relativo em cada iteração. Vamos usar conceitos de métodos numéricos, especificamente o método de Newton-Raphson, e entender como aplicar essa fórmula para calcular raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica utilizada para encontrar raízes de uma função , ou seja, valores de que satisfazem . A fórmula geral do método de Newton-Raphson é:
Aqui, é a aproximação atual, é o valor da função na aproximação atual, e é a derivada da função na mesma aproximação.
Passo 3
Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar . Para isso, escolhemos a função:
Queremos encontrar tal que , ou seja, , o que nos dá . A derivada dessa função é:
Substituindo na fórmula do Newton-Raphson:
Isso mostra que o método dado no enunciado é equivalente ao método de Newton-Raphson aplicado à função .
Passo 4
Agora, vamos realizar duas iterações do método de Newton para encontrar . Escolhemos e iniciamos com um palpite inicial . Vamos escolher .
A fórmula do método fica:
Primeira iteração ():
Calculando o erro relativo:
Passo 5
Segunda iteração ():
Calculando o erro relativo:
Resposta
(a) A expressão é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson aplicado à função .
(b) Após duas iterações do método de Newton para encontrar , obtemos: