O método
x=x+a / x2
(a) Demonstre que isso é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson.
(b) Realize duas iterações do método de Newton, calculando o erro relativo em cada iteração, para achar raiz(2).

Passo 1

Estamos com um exercício que pede para demonstrar que o método x = x + a / x2 é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson. Além disso, precisamos realizar duas iterações do método de Newton para encontrar raiz2, calculando o erro relativo em cada iteração. Vamos usar conceitos de métodos numéricos, especificamente o método de Newton-Raphson, e entender como aplicar essa fórmula para calcular raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica utilizada para encontrar raízes de uma função f(x), ou seja, valores de x que satisfazem f(x) = 0. A fórmula geral do método de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, xn é a aproximação atual, f(xn) é o valor da função na aproximação atual, e f'(xn) é a derivada da função na mesma aproximação.

Passo 3

Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar raiza. Para isso, escolhemos a função:
f(x) = x^2 - a
Queremos encontrar x tal que f(x) = 0, ou seja, x^2 = a, o que nos dá x = raiza. A derivada dessa função é:
f'(x) = 2x
Substituindo na fórmula do Newton-Raphson:
xn+1 = xn - xn^2 - a2xn = 2xn^2 - (xn^2 - a)2xn = xn + axn2
Isso mostra que o método dado no enunciado é equivalente ao método de Newton-Raphson aplicado à função f(x) = x^2 - a.

Passo 4

Agora, vamos realizar duas iterações do método de Newton para encontrar raiz2. Escolhemos a = 2 e iniciamos com um palpite inicial x0. Vamos escolher x0 = 1.
A fórmula do método fica:
xn+1 = xn + 2xn2
Primeira iteração ( n=0):
x1 = 1 + 212 = 1 + 22 = 32 = 1,5
Calculando o erro relativo:
Erro Relativo = |x1 - raiz2raiz2| approx |1,5 - 1,41421,4142| approx 0,0606 ou 6,06%

Passo 5

Segunda iteração ( n=1):
x2 = 1,5 + 21,52 = 1,5 + 1,33332 = 2,83332 = 1,4167
Calculando o erro relativo:
Erro Relativo = |1,4167 - 1,41421,4142| approx |0,00251,4142| approx 0,0018 ou 0,18%

Resposta

(a) A expressão x = x + a / x2 é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson aplicado à função f(x) = x^2 - a.
(b) Após duas iterações do método de Newton para encontrar raiz2, obtemos:
  • Primeira iteração: x1 = 1,5 com erro relativo de 6,06%
  • Segunda iteração: x2 = 1,4167 com erro relativo de 0,18%

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