O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde e .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o deslocamento de uma estrutura que oscila de forma amortecida, usando a equação , onde e . Precisamos:
(a) Fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 usando um método gráfico.
(b) Encontrar esse tempo de forma mais precisa usando o método de Newton-Raphson ou da secante, com um erro relativo menor que 0,2, começando de .

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Para fazer uma estimativa gráfica, precisamos encontrar o valor de que satisfaz . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar o gráfico:
Assim, queremos encontrar o tempo onde a função cruza o valor 0,3889.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Essa função é uma oscilação que diminui de amplitude ao longo do tempo devido ao termo exponencial . Procuramos onde essa curva atinge o valor 0,3889.

Passo 5

Olhando para o gráfico, identificamos que a primeira vez que a curva cruza 0,3889 ocorre por volta de segundo. Essa é nossa estimativa inicial usando o método gráfico.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor preciso de que satisfaz usando o método de Newton-Raphson ou da secante, com um erro relativo menor que 0,2, começando de .
Vamos optar pelo método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos definir a função cuja raiz queremos encontrar:

Passo 7

O próximo passo é calcular a derivada de em relação a :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Começando com :
Calculamos e :

Passo 9

Atualizamos :

Passo 10

Verificamos o erro relativo:
Como o erro é maior que 0,2, repetimos o processo com .
Continuamos iterando até que o erro relativo seja menor que 0,2. Após algumas iterações, vamos convergir para segundo.

Resposta

O tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 é aproximadamente segundo.

Exercícios relacionados

Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única ;
  • O método de Newton converge para qualquer ;
  • O método de Newton diverge para todo .
O método
(a) Demonstre que isso é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson.
(b) Realize duas iterações do método de Newton, calculando o erro relativo em cada iteração, para achar .
Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).
Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de reais aplicado em um fundo de investimento durante meses com uma taxa de rendimento mensal de (em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de reais é dada por
onde é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?