O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
y=9 e^-k t cos omega t
onde k=0,5 e w=2.
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de x0=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o deslocamento de uma estrutura que oscila de forma amortecida, usando a equação , onde e . Precisamos:
(a) Fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 usando um método gráfico.
(b) Encontrar esse tempo de forma mais precisa usando o método de Newton-Raphson ou da secante, com um erro relativo menor que 0,2, começando de .

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Para fazer uma estimativa gráfica, precisamos encontrar o valor de 3,5 = 9 e^-0,5 t cos(2 t) que satisfaz . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar o gráfico:
e^-0,5 t cos(2 t) = 3,59 approx 0,3889
Assim, queremos encontrar o tempo onde a função cruza o valor 0,3889.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Essa função é uma oscilação que diminui de amplitude ao longo do tempo devido ao termo exponencial . Procuramos onde essa curva atinge o valor 0,3889.

Passo 5

Olhando para o gráfico, identificamos que a primeira vez que a curva cruza 0,3889 ocorre por volta de segundo. Essa é nossa estimativa inicial usando o método gráfico.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor preciso de f(t) = 9 e^-0,5 t cos(2 t) - 3,5 que satisfaz usando o método de Newton-Raphson ou da secante, com um erro relativo menor que 0,2, começando de .
Vamos optar pelo método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos definir a função cuja raiz queremos encontrar:

Passo 7

O próximo passo é calcular a derivada de f'(t) = ddt [9 e^-0,5 t cos(2 t)] = 9 e^-0,5 t (-0,5 cos(2 t) - 2 sin(2 t)) em relação a :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
tn+1 = tn - f(tn)f'(tn)
Começando com f(1) = 9 e^-0,5 times 1 cos(2 times 1) - 3,5 approx 9 e^-0,5 cos(2) - 3,5 approx 9 times 0,6065 times (-0,4161) - 3,5 approx -2,276 - 3,5 approx -5,776 :
Calculamos f'(1) approx 9 times 0,6065 times (-0,5 times (-0,4161) - 2 times sin(2)) approx 9 times 0,6065 times (0,20805 - 2 times 0,9093) approx 9 times 0,6065 times (-1,6105) approx -8,783 e :

Passo 9

Atualizamos t1 = 1 - -5,776-8,783 approx 1 - 0,657 approx 0,343 :

Passo 10

Verificamos o erro relativo:
Erro relativo = | t1 - t0t1 | times 100% approx | 0,343 - 10,343 | times 100% approx 191,5%
Como o erro é maior que 0,2, repetimos o processo com .
Continuamos iterando até que o erro relativo seja menor que 0,2. Após algumas iterações, vamos convergir para segundo.

Resposta

O tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 é aproximadamente segundo.

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