O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde e .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o deslocamento de uma estrutura que oscila de forma amortecida, usando a equação , onde e . Precisamos:
(a) Fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 usando um método gráfico.
(b) Encontrar esse tempo de forma mais precisa usando o método de Newton-Raphson ou da secante, com um erro relativo menor que 0,2, começando de .
Passo 2
Vamos começar pelo item (a). Para fazer uma estimativa gráfica, precisamos encontrar o valor de que satisfaz . Ou seja, queremos resolver a equação:
Passo 3
Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar o gráfico:
Assim, queremos encontrar o tempo onde a função cruza o valor 0,3889.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico de . Essa função é uma oscilação que diminui de amplitude ao longo do tempo devido ao termo exponencial . Procuramos onde essa curva atinge o valor 0,3889.
Passo 5
Olhando para o gráfico, identificamos que a primeira vez que a curva cruza 0,3889 ocorre por volta de segundo. Essa é nossa estimativa inicial usando o método gráfico.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor preciso de que satisfaz usando o método de Newton-Raphson ou da secante, com um erro relativo menor que 0,2, começando de .
Vamos optar pelo método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos definir a função cuja raiz queremos encontrar:
Passo 7
O próximo passo é calcular a derivada de em relação a :
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Começando com :
Calculamos e :
Passo 9
Atualizamos :
Passo 10
Verificamos o erro relativo:
Como o erro é maior que 0,2, repetimos o processo com .
Continuamos iterando até que o erro relativo seja menor que 0,2. Após algumas iterações, vamos convergir para segundo.
Resposta
O tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 é aproximadamente segundo.