Sabendo-se que a função
tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de
com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que cruza o eixo x em algum lugar entre 1 e 2. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas vezes precisamos aplicar o método da bissecção nesse intervalo para chegar bem perto do zero da função, com uma precisão de
. Para isso, vamos usar a fórmula do erro máximo na n-ésima iteração do método da bissecção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da bissecção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir repetidamente o intervalo em duas partes e escolher a subparte onde a função muda de sinal, garantindo que haja uma raiz lá.
A fórmula que determina o número de iterações necessárias para alcançar uma precisão desejada
é:
Aqui,
e
são os limites do intervalo inicial. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos agora aplicar os valores na fórmula. Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula:
Sabemos que
. Considerando que
e
:
Passo 4
Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de pelo menos 14 iterações para garantir que a aproximação esteja na ordem de
.
Resposta
Seriam necessárias 14 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação da raiz com a precisão desejada de
no intervalo [1, 2].