Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que cruza o eixo x em algum lugar entre 1 e 2. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas vezes precisamos aplicar o método da bissecção nesse intervalo para chegar bem perto do zero da função, com uma precisão de . Para isso, vamos usar a fórmula do erro máximo na n-ésima iteração do método da bissecção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da bissecção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir repetidamente o intervalo em duas partes e escolher a subparte onde a função muda de sinal, garantindo que haja uma raiz lá.
A fórmula que determina o número de iterações necessárias para alcançar uma precisão desejada é:
Aqui, e são os limites do intervalo inicial. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos agora aplicar os valores na fórmula. Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na fórmula:
Sabemos que . Considerando que e :

Passo 4

Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de pelo menos 14 iterações para garantir que a aproximação esteja na ordem de .

Resposta

Seriam necessárias 14 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação da raiz com a precisão desejada de no intervalo [1, 2].

Exercícios relacionados

O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde e .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .
Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única ;
  • O método de Newton converge para qualquer ;
  • O método de Newton diverge para todo .
Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de reais aplicado em um fundo de investimento durante meses com uma taxa de rendimento mensal de (em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de reais é dada por
onde é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única , para algum intervalo ;
  • Existe uma segunda raiz,
  • O método de Newton converge para para todo ;
  • O método de Newton converge para para todo .