Sabendo-se que a função
tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de
com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que cruza o eixo x em algum lugar entre 1 e 2. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas vezes precisamos aplicar o método da bissecção nesse intervalo para chegar bem perto do zero da função, com uma precisão de
. Para isso, vamos usar a fórmula do erro máximo na n-ésima iteração do método da bissecção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da bissecção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir repetidamente o intervalo em duas partes e escolher a subparte onde a função muda de sinal, garantindo que haja uma raiz lá.
A fórmula que determina o número de iterações necessárias para alcançar uma precisão desejada
é:
Aqui,
e
são os limites do intervalo inicial. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos agora aplicar os valores na fórmula. Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula:
Sabemos que
. Considerando que
e
:
Passo 4
Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de pelo menos 14 iterações para garantir que a aproximação esteja na ordem de
.
Resposta
Seriam necessárias 14 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação da raiz com a precisão desejada de
no intervalo [1, 2].
Exercícios relacionados
O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde
e
.
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de
Desenhe o gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
-
é definida e diferenciável para todo ; - Existe uma raiz única
; - O método de Newton converge para qualquer
; - O método de Newton diverge para todo
.
Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de
reais aplicado em um fundo de investimento durante
meses com uma taxa de rendimento mensal de
(em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de
reais é dada por
onde
é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende
ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
Desenhe o gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
-
é definida e diferenciável para todo ; - Existe uma raiz única
, para algum intervalo ; - Existe uma segunda raiz,
- O método de Newton converge para
para todo ; - O método de Newton converge para
para todo .