Sabendo-se que a função f(x)=2 x-x^2+sin (3 x) tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de varepsilon=10^-4 com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que cruza o eixo x em algum lugar entre 1 e 2. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas vezes precisamos aplicar o método da bissecção nesse intervalo para chegar bem perto do zero da função, com uma precisão de . Para isso, vamos usar a fórmula do erro máximo na n-ésima iteração do método da bissecção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da bissecção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir repetidamente o intervalo em duas partes e escolher a subparte onde a função muda de sinal, garantindo que haja uma raiz lá.
A fórmula que determina o número de iterações necessárias para alcançar uma precisão desejada n >= log(b - avarepsilon)log(2) é:
Aqui, e são os limites do intervalo inicial. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos agora aplicar os valores na fórmula. Primeiro, calculamos b - a = 2 - 1 = 1 :
n >= log(110^-4)log(2) = log(10^4)log(2)
Agora, substituímos na fórmula:
n >= 4 times 2.3025850.693147 approx 9.210340.693147 approx 13.2877
Sabemos que . Considerando que e :

Passo 4

Como o número de iterações precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de pelo menos 14 iterações para garantir que a aproximação esteja na ordem de .

Resposta

Seriam necessárias 14 iterações no método da bissecção para obter uma aproximação da raiz com a precisão desejada de no intervalo [1, 2].

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