Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única , para algum intervalo ;
  • Existe uma segunda raiz,
  • O método de Newton converge para para todo ;
  • O método de Newton converge para para todo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico de uma função que atende a várias condições específicas. A matéria que vamos usar envolve cálculo, especialmente noções sobre funções, derivadas e o método de Newton para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, como o método de Newton funciona e como essas condições influenciam o formato do gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função ser definida e diferenciável para todo significa que ela não tem “buracos”, “quebras” ou “esquinas” no seu gráfico. Ela é suave em todos os pontos.

Passo 3

Agora, o exercício diz que existe uma raiz única dentro de um intervalo . Uma raiz de uma função é o valor de onde . Então, dentro desse intervalo, , e essa é a única raiz nesse intervalo.

Passo 4

Também é informado que existe uma segunda raiz, , que é menor que ( ). Isso significa que também, mas está fora do intervalo .

Passo 5

O método de Newton é um processo iterativo para encontrar as raízes de uma função. A condição de que o método de Newton converge para para todo em implica que, se começarmos em qualquer ponto dentro desse intervalo, vamos sempre chegar na raiz .

Passo 6

Similarmente, o método de Newton converge para para todo . Isso significa que, se começarmos no ponto inicial que é menor ou igual a , o método nos levará até a raiz .

Passo 7

Para que o método de Newton funcione dessa maneira, a função deve ter certas características em relação às suas derivadas. Especificamente, a derivada de , , não deve ser zero nos pontos próximos às raízes, para evitar divisão por zero no método.

Passo 8

Com todas essas informações, podemos imaginar que o gráfico de cruza o eixo em e , sendo suave em todos os lugares. Entre e , a função não tem outras raízes, e a inclinação da função deve ser tal que o método de Newton sempre direcione as aproximações para as raízes desejadas.

Resposta

O gráfico da função terá duas interceptações com o eixo em e , sendo . A função será suave e diferenciável em todo o domínio, sem outros cruzamentos com o eixo . A inclinação da função é tal que, ao aplicar o método de Newton a partir de qualquer ponto em , as iterações convergem para , e a partir de qualquer ponto , convergem para .

Gráfico Ilustrativo

Gráfico da função f
Nota: O gráfico acima é ilustrativo e mostra uma função suave que cruza o eixo em e , com .

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onde é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).
Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de utilizando o método da bissecção. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 4 casas decimais.
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(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o momento no qual o aumento de temperatura global atingirá os 2 graus.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).