Desenhe o gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
-
é definida e diferenciável para todo
;
- Existe uma raiz única
, para algum intervalo
;
- Existe uma segunda raiz,
- O método de Newton converge para
para todo
;
- O método de Newton converge para
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico de uma função
que atende a várias condições específicas. A matéria que vamos usar envolve cálculo, especialmente noções sobre funções, derivadas e o método de Newton para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, como o método de Newton funciona e como essas condições influenciam o formato do gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ser definida e diferenciável para todo
significa que ela não tem “buracos”, “quebras” ou “esquinas” no seu gráfico. Ela é suave em todos os pontos.
Passo 3
Agora, o exercício diz que existe uma raiz única
dentro de um intervalo
. Uma raiz de uma função é o valor de
onde
. Então, dentro desse intervalo,
, e essa é a única raiz nesse intervalo.
Passo 4
Também é informado que existe uma segunda raiz,
, que é menor que
(
). Isso significa que
também, mas está fora do intervalo
.
Passo 5
O método de Newton é um processo iterativo para encontrar as raízes de uma função. A condição de que o método de Newton converge para
para todo
em
implica que, se começarmos em qualquer ponto dentro desse intervalo, vamos sempre chegar na raiz
.
Passo 6
Similarmente, o método de Newton converge para
para todo
. Isso significa que, se começarmos no ponto inicial
que é menor ou igual a
, o método nos levará até a raiz
.
Passo 7
Para que o método de Newton funcione dessa maneira, a função
deve ter certas características em relação às suas derivadas. Especificamente, a derivada de
,
, não deve ser zero nos pontos próximos às raízes, para evitar divisão por zero no método.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos imaginar que o gráfico de
cruza o eixo
em
e
, sendo suave em todos os lugares. Entre
e
, a função não tem outras raízes, e a inclinação da função deve ser tal que o método de Newton sempre direcione as aproximações para as raízes desejadas.
Resposta
O gráfico da função
terá duas interceptações com o eixo
em
e
, sendo
. A função será suave e diferenciável em todo o domínio, sem outros cruzamentos com o eixo
. A inclinação da função é tal que, ao aplicar o método de Newton a partir de qualquer ponto em
, as iterações convergem para
, e a partir de qualquer ponto
, convergem para
.
Gráfico Ilustrativo

Nota: O gráfico acima é ilustrativo e mostra uma função suave que cruza o eixo
em
e
, com
.