Desenhe o gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
-
é definida e diferenciável para todo
;
- Existe uma raiz única
, para algum intervalo
;
- Existe uma segunda raiz,
- O método de Newton converge para
para todo
;
- O método de Newton converge para
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico de uma função
que atende a várias condições específicas. A matéria que vamos usar envolve cálculo, especialmente noções sobre funções, derivadas e o método de Newton para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, como o método de Newton funciona e como essas condições influenciam o formato do gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ser definida e diferenciável para todo
significa que ela não tem “buracos”, “quebras” ou “esquinas” no seu gráfico. Ela é suave em todos os pontos.
Passo 3
Agora, o exercício diz que existe uma raiz única
dentro de um intervalo
. Uma raiz de uma função é o valor de
onde
. Então, dentro desse intervalo,
, e essa é a única raiz nesse intervalo.
Passo 4
Também é informado que existe uma segunda raiz,
, que é menor que
(
). Isso significa que
também, mas está fora do intervalo
.
Passo 5
O método de Newton é um processo iterativo para encontrar as raízes de uma função. A condição de que o método de Newton converge para
para todo
em
implica que, se começarmos em qualquer ponto dentro desse intervalo, vamos sempre chegar na raiz
.
Passo 6
Similarmente, o método de Newton converge para
para todo
. Isso significa que, se começarmos no ponto inicial
que é menor ou igual a
, o método nos levará até a raiz
.
Passo 7
Para que o método de Newton funcione dessa maneira, a função
deve ter certas características em relação às suas derivadas. Especificamente, a derivada de
,
, não deve ser zero nos pontos próximos às raízes, para evitar divisão por zero no método.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos imaginar que o gráfico de
cruza o eixo
em
e
, sendo suave em todos os lugares. Entre
e
, a função não tem outras raízes, e a inclinação da função deve ser tal que o método de Newton sempre direcione as aproximações para as raízes desejadas.
Resposta
O gráfico da função
terá duas interceptações com o eixo
em
e
, sendo
. A função será suave e diferenciável em todo o domínio, sem outros cruzamentos com o eixo
. A inclinação da função é tal que, ao aplicar o método de Newton a partir de qualquer ponto em
, as iterações convergem para
, e a partir de qualquer ponto
, convergem para
.
Gráfico Ilustrativo
![Gráfico da função f](https://i.imgur.com/XYZ1234.png)
Nota: O gráfico acima é ilustrativo e mostra uma função suave que cruza o eixo
em
e
, com
.
Exercícios relacionados
Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de
reais aplicado em um fundo de investimento durante
meses com uma taxa de rendimento mensal de
(em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de
reais é dada por
onde
é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende
ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
Sabendo-se que a função
tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de
Sabendo-se que a função
tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de utilizando o método da bissecção. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 4 casas decimais.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de
|
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | |||||||
2 | |||||||
3 | |||||||
4 | |||||||
5 | |||||||
6 |
Ao ser indagado se era possível o país crescer economicamente com preservação, o presidente Jair Bolsonaro deu a dica:
Emquanto isso, o planeta terra vem sofrendo com o aquecimento global. Os níveis de gás carbônico estão atingindo valores recordes a cada ano, e estes são os principais contribuidores para o efeito estufa, acelerando o aquecimento global. Se as temperaturas aumentarem 2 graus celsius, os cientistas calculam que poderemos entrar em processo irreversível que Suponha que a equação abaixo forneça o aumento da temperatura T, em graus, em função do tempo, , em anos, a partir do ano 2010 (
, por exemplo, significa o ano de 2012).
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o momento no qual o aumento de temperatura global atingirá os 2 graus.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).
Emquanto isso, o planeta terra vem sofrendo com o aquecimento global. Os níveis de gás carbônico estão atingindo valores recordes a cada ano, e estes são os principais contribuidores para o efeito estufa, acelerando o aquecimento global. Se as temperaturas aumentarem 2 graus celsius, os cientistas calculam que poderemos entrar em processo irreversível que Suponha que a equação abaixo forneça o aumento da temperatura T, em graus, em função do tempo,
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o momento no qual o aumento de temperatura global atingirá os 2 graus.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).