Sabendo-se que a função
tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de
utilizando o método da bissecção. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 4 casas decimais.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de
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1 | |||||||
2 | |||||||
3 | |||||||
4 | |||||||
5 | |||||||
6 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e queremos encontrar o valor de
que faz
no intervalo
. Para isso, vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica bem legal para encontrar raízes de funções contínuas dividindo o intervalo pela metade repetidamente até chegar perto da solução desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos:
- Função:
- Intervalo inicial:
- Precisão desejada:
(ou seja, 0.1) - Precisamos preencher uma tabela com 6 iterações do método da bissecção.
Vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para começar.
Passo 3
Vamos calcular
e
, onde
e
:
Como
, sabemos que existe uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos começar a preencher a tabela com as iterações do método da bissecção.
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1 | 1.0000 | 1.5000 | 2.0000 | 1.1411 | -0.2272 | -0.2794 | 0.5000 |
2 | 1.0000 | 1.2500 | 1.5000 | 1.1411 | 0.3656 | -0.2272 | 0.2500 |
3 | 1.2500 | 1.3750 | 1.5000 | 0.3656 | 0.0675 | -0.2272 | 0.1250 |
4 | 1.3750 | 1.4375 | 1.5000 | 0.3656 | -0.0815 | -0.2272 | 0.0625 |
5 | 1.3750 | 1.4063 | 1.4375 | 0.3656 | -0.0060 | -0.0815 | 0.0313 |
6 | 1.3750 | 1.3906 | 1.4063 | 0.3656 | 0.0309 | -0.0060 | 0.0156 |
Detalhes das iterações:
-
Iteração 1 (
): -
-
- Como
, a raiz está entre 1 e 1.5. Atualizamos .
-
-
Iteração 2 (
): -
-
- Como
, a raiz está entre 1.25 e 1.5. Atualizamos .
-
-
Iteração 3 (
): -
-
- Como
, a raiz está entre 1.375 e 1.5. Atualizamos .
-
-
Iteração 4 (
): -
-
- Como
, a raiz está entre 1.375 e 1.4375. Atualizamos .
-
-
Iteração 5 (
): -
-
- Como
, a raiz está entre 1.375 e 1.4063. Atualizamos .
-
-
Iteração 6 (
): -
-
- Como
, a raiz está entre 1.3906 e 1.4063. Atualizamos .
-
Resposta
Após 6 iterações, o valor aproximado do zero da função
com precisão de
é
.
Exercícios relacionados
Desenhe o gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
-
é definida e diferenciável para todo ; - Existe uma raiz única
, para algum intervalo ; - Existe uma segunda raiz,
- O método de Newton converge para
para todo ; - O método de Newton converge para
para todo .
Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de
reais aplicado em um fundo de investimento durante
meses com uma taxa de rendimento mensal de
(em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de
reais é dada por
onde
é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende
ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
Ao ser indagado se era possível o país crescer economicamente com preservação, o presidente Jair Bolsonaro deu a dica:
Emquanto isso, o planeta terra vem sofrendo com o aquecimento global. Os níveis de gás carbônico estão atingindo valores recordes a cada ano, e estes são os principais contribuidores para o efeito estufa, acelerando o aquecimento global. Se as temperaturas aumentarem 2 graus celsius, os cientistas calculam que poderemos entrar em processo irreversível que Suponha que a equação abaixo forneça o aumento da temperatura T, em graus, em função do tempo, , em anos, a partir do ano 2010 (
, por exemplo, significa o ano de 2012).
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o momento no qual o aumento de temperatura global atingirá os 2 graus.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).
Emquanto isso, o planeta terra vem sofrendo com o aquecimento global. Os níveis de gás carbônico estão atingindo valores recordes a cada ano, e estes são os principais contribuidores para o efeito estufa, acelerando o aquecimento global. Se as temperaturas aumentarem 2 graus celsius, os cientistas calculam que poderemos entrar em processo irreversível que Suponha que a equação abaixo forneça o aumento da temperatura T, em graus, em função do tempo,
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o momento no qual o aumento de temperatura global atingirá os 2 graus.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).
Considerando a função
, calcule o que se pede.
Isole o zero da função num intervalo de extremos inteiros consecutivos .
Isole o zero da função num intervalo de extremos inteiros consecutivos
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0 | 1 | 2 | 3 |
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Resposta: