Sabendo-se que a função f(x)=2 x-x^2+sin (3 x) tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de 10^-1 utilizando o método da bissecção. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 4 casas decimais.
n a x b f(a) f(x) f(b) (b-a) / 2
1
2
3
4
5
6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e queremos encontrar o valor de que faz no intervalo . Para isso, vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica bem legal para encontrar raízes de funções contínuas dividindo o intervalo pela metade repetidamente até chegar perto da solução desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos:
  • Função:
  • Intervalo inicial:
  • Precisão desejada: (ou seja, 0.1)
  • Precisamos preencher uma tabela com 6 iterações do método da bissecção.
Vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para começar.

Passo 3

Vamos calcular f(1) = 2(1) - (1)^2 + sin(3 times 1) = 2 - 1 + sin(3) approx 1 + 0.1411 approx 1.1411 e f(2) = 2(2) - (2)^2 + sin(3 times 2) = 4 - 4 + sin(6) approx 0 -0.2794 approx -0.2794 , onde e :
Como , sabemos que existe uma raiz no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos começar a preencher a tabela com as iterações do método da bissecção.
1 1.0000 1.5000 2.0000 1.1411 -0.2272 -0.2794 0.5000
2 1.0000 1.2500 1.5000 1.1411 0.3656 -0.2272 0.2500
3 1.2500 1.3750 1.5000 0.3656 0.0675 -0.2272 0.1250
4 1.3750 1.4375 1.5000 0.3656 -0.0815 -0.2272 0.0625
5 1.3750 1.4063 1.4375 0.3656 -0.0060 -0.0815 0.0313
6 1.3750 1.3906 1.4063 0.3656 0.0309 -0.0060 0.0156
Detalhes das iterações:
  1. Iteração 1 ( ):
    • Como , a raiz está entre 1 e 1.5. Atualizamos .
  2. Iteração 2 ( ):
    • Como , a raiz está entre 1.25 e 1.5. Atualizamos .
  3. Iteração 3 ( ):
    • Como , a raiz está entre 1.375 e 1.5. Atualizamos .
  4. Iteração 4 ( ):
    • Como , a raiz está entre 1.375 e 1.4375. Atualizamos .
  5. Iteração 5 ( ):
    • Como , a raiz está entre 1.375 e 1.4063. Atualizamos .
  6. Iteração 6 ( ):
    • Como , a raiz está entre 1.3906 e 1.4063. Atualizamos .

Resposta

Após 6 iterações, o valor aproximado do zero da função com precisão de é .

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