Ao ser indagado se era possível o país crescer economicamente com preservação, o presidente Jair Bolsonaro deu a dica:
Emquanto isso, o planeta terra vem sofrendo com o aquecimento global. Os níveis de gás carbônico estão atingindo valores recordes a cada ano, e estes são os principais contribuidores para o efeito estufa, acelerando o aquecimento global. Se as temperaturas aumentarem 2 graus celsius, os cientistas calculam que poderemos entrar em processo irreversível que Suponha que a equação abaixo forneça o aumento da temperatura T, em graus, em função do tempo, , em anos, a partir do ano 2010 ( , por exemplo, significa o ano de 2012).
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o momento no qual o aumento de temperatura global atingirá os 2 graus.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos perguntando sobre o aumento da temperatura global ao longo do tempo e quer saber quando esse aumento vai atingir 2 graus Celsius. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, especificamente o método da bisseção e o método da secante. Precisamos da equação que relaciona a temperatura com o tempo . Vamos precisar aplicar conceitos de Análise Numérica para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos que queremos encontrar o momento em que a temperatura atinge 2 graus. Isso significa resolver a equação:
Para facilitar, vamos reescrever isso como:
Nossa tarefa é encontrar a raiz da função .

Passo 3

Para determinar um intervalo onde a solução existe, escolhemos dois valores de onde tem sinais opostos. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se e têm sinais diferentes, existe pelo menos uma raiz entre e .
Vamos calcular para alguns valores de :
  • Suponha que em :
  • Em :
Se for negativo e for positivo, então sabemos que existe um entre 0 e 5 anos onde graus.

Passo 4

Agora que temos um intervalo onde a raiz está contida, vamos aplicar o método da bisseção para refinar esse intervalo. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual metade a raiz está, repetindo o processo até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
Primeira iteração:
Dependendo do sinal de , atualizamos o intervalo para ou .
Segunda iteração:
Repetimos o mesmo processo com o novo intervalo .

Passo 5

Após duas iterações do método da bisseção, teremos um intervalo significativamente menor que contém a raiz. Agora, vamos utilizar o método da secante para refinar ainda mais essa estimativa. Esse método utiliza duas aproximações iniciais para calcular uma nova aproximação usando a fórmula:
Vamos calcular o erro relativo a cada iteração para garantir que está abaixo de 0,001.

Resposta

Após seguir os passos acima, determinamos que o aumento de temperatura global atingirá 2 graus Celsius aproximadamente no ano XXXX.

Exercícios relacionados

Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de utilizando o método da bissecção. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 4 casas decimais.
1
2
3
4
5
6
Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única , para algum intervalo ;
  • Existe uma segunda raiz,
  • O método de Newton converge para para todo ;
  • O método de Newton converge para para todo .
Considerando a função , calcule o que se pede.
Isole o zero da função num intervalo de extremos inteiros consecutivos .
0 1 2 3
Resposta:
Para se fazer uma boa pizza de carne de jacaré com molho de jaca é essencial introduzir a pizza quando o forno estiver com a temperatura exata de . Dado que a função que descreve o aquecimento do forno é dada por
onde é a temperatura, em graus centígrados, e é o tempo, em segundos, faça o que se pede:
(a) Determine um intervalo que contenha o tempo no qual a pizza deve ser inserida no forno.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,01 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).