Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de P reais aplicado em um fundo de investimento durante n meses com uma taxa de rendimento mensal de j (em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de M reais é dada por
T=P(1+j)^n+Mj((1+j)^n-1)
onde T é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende 1 %(0,01) ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?

Passo 1

Vamos lá, amigo! O exercício fala sobre Caetano, que decidiu investir 500 reais inicialmente e vai acrescentar 20 reais todo mês em uma previdência privada que rende 1% ao mês. A gente precisa usar uma fórmula de juros compostos com aportes mensais para descobrir em quanto tempo ele vai alcançar 100 mil reais. Vamos usar a fórmula:
T = P(1+j)^n + Mj((1+j)^n - 1)
Onde:
  • é o valor total que ele quer alcançar (100 mil reais)
  • é o valor inicial (500 reais)
  • é a taxa de juros mensal (1% ou 0,01)
  • são os aportes mensais (20 reais)
  • é o número de meses que queremos descobrir

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os valores que já temos na fórmula:
100000 = 500(1+0.01)^n + 200.01((1+0.01)^n - 1)
Simplificando:
100000 = 500(1.01)^n + 2000((1.01)^n - 1)

Passo 3

Vamos combinar os termos que têm 100000 = 500(1.01)^n + 2000(1.01)^n - 2000 :
100000 + 2000 = 2500(1.01)^n
102000 = 2500(1.01)^n

Passo 4

Agora, isolamos (1.01)^n = 1020002500 = 40.8 :

Passo 5

Para resolver para n cdot ln(1.01) = ln(40.8) , usamos logaritmo:
n = ln(40.8)ln(1.01)

Passo 6

Calculando os logaritmos:
ln(40.8) approx 3.712
ln(1.01) approx 0.00995
n approx 3.7120.00995 approx 373.3

Resposta

Então, Caetano vai precisar de aproximadamente 373 meses para acumular 100 mil reais na sua previdência privada.

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