Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de
reais aplicado em um fundo de investimento durante
meses com uma taxa de rendimento mensal de
(em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de
reais é dada por
onde
é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende
ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?
Passo 1
Vamos lá, amigo! O exercício fala sobre Caetano, que decidiu investir 500 reais inicialmente e vai acrescentar 20 reais todo mês em uma previdência privada que rende 1% ao mês. A gente precisa usar uma fórmula de juros compostos com aportes mensais para descobrir em quanto tempo ele vai alcançar 100 mil reais. Vamos usar a fórmula:
Onde:
-
é o valor total que ele quer alcançar (100 mil reais) -
é o valor inicial (500 reais) -
é a taxa de juros mensal (1% ou 0,01) -
são os aportes mensais (20 reais) -
é o número de meses que queremos descobrir
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os valores que já temos na fórmula:
Simplificando:
Passo 3
Vamos combinar os termos que têm
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Para resolver para
, usamos logaritmo:
Passo 6
Calculando os logaritmos:
Resposta
Então, Caetano vai precisar de aproximadamente 373 meses para acumular 100 mil reais na sua previdência privada.