Preocupado com a reforma da previdência, Caetano Medeiros, aconselhado pelo pai, um grande investidor, resolveu fazer um pé de meia investindo em uma previdência privada. A fórmula de rendimento de um montante de reais aplicado em um fundo de investimento durante meses com uma taxa de rendimento mensal de (em porcentagem) e com aportes mensais (aplicações a cada mês) de reais é dada por
onde é o valor total obtido (valor futuro). Caetano investiu todo o seu dinheiro (500 reais) em um fundo de aplicação que rende ao mês, e tem condições de aplicar 20 reais todos os meses. O gerente da previdência privada informou que, em pouco mais de 30 anos ( 360 meses), Caetano iria acumular mais de 100 mil reais!
(a) Determine um intervalo de tempo que contenha o número de meses no qual o valor total aplicado no fundo atinja os 100 mil reais. Prove que o intervalo determinado contém pelo menos uma raiz.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,001 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração). Em quanto tempo Caetano deve sacar o dinheiro para ter exatamente os 100 mil reais?

Passo 1

Vamos lá, amigo! O exercício fala sobre Caetano, que decidiu investir 500 reais inicialmente e vai acrescentar 20 reais todo mês em uma previdência privada que rende 1% ao mês. A gente precisa usar uma fórmula de juros compostos com aportes mensais para descobrir em quanto tempo ele vai alcançar 100 mil reais. Vamos usar a fórmula:
Onde:
  • é o valor total que ele quer alcançar (100 mil reais)
  • é o valor inicial (500 reais)
  • é a taxa de juros mensal (1% ou 0,01)
  • são os aportes mensais (20 reais)
  • é o número de meses que queremos descobrir

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os valores que já temos na fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Vamos combinar os termos que têm :

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Para resolver para , usamos logaritmo:

Passo 6

Calculando os logaritmos:

Resposta

Então, Caetano vai precisar de aproximadamente 373 meses para acumular 100 mil reais na sua previdência privada.

Exercícios relacionados

Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o número de iterações que seriam necessárias no método da bissecção para se obter uma aproximação na ordem de com base no intervalo dado. (DICA: use a fórmula do erro máximo para a n-ésima iteração).
O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
onde e .
(a) Use o método gráfico para fazer uma estimativa inicial do tempo necessário para que o deslocamento atinja 3,5 .
(b) Use o método de Newton-Raphson ou da secante para determinar a raiz com erro relativo menor que 0,2 a partir de .
Desenhe o gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • é definida e diferenciável para todo ;
  • Existe uma raiz única , para algum intervalo ;
  • Existe uma segunda raiz,
  • O método de Newton converge para para todo ;
  • O método de Newton converge para para todo .
Sabendo-se que a função tem um zero real isolado no intervalo [1,2], calcule o que se pede.
Obtenha o valor do zero da função, com precisão de utilizando o método da bissecção. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 4 casas decimais.
1
2
3
4
5
6