A determinação do nível de sódio em porções separadas de uma amostra de sangue através de medidas com eletrodo de íon seletivo, deu os seguintes resultados: 139,2; 139,8; 140,1 e 139,4 mmol/L. Qual é a faixa dentro da qual o valor verdadeiro se encontra, assumindo que não haja erro determinado, para: (a) um nível de confiança de 90%, (b) um nível de confiança de 95%, © um nível de confiança de 99%.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos quatro medidas do nível de sódio em sangue: 139,2; 139,8; 140,1 e 139,4 mmol/L. Precisamos determinar a faixa dentro da qual o valor verdadeiro do nível de sódio se encontra, assumindo que não há erro sistemático, para diferentes níveis de confiança: 90%, 95% e 99%. Para resolver isso, vamos usar o conceito de intervalo de confiança na estatística, que nos ajuda a estimar onde está o valor verdadeiro com base nas nossas amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das nossas medições. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Média = 139,2 + 139,8 + 140,1 + 139,44 é
Média = 558,54 = 139,625 mmol/L é

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio padrão das nossas medições, que indica o quanto os valores estão dispersos em relação à média. Primeiro, calculamos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Variância = (139,2 - 139,625)^2 + (139,8 - 139,625)^2 + (140,1 - 139,625)^2 + (139,4 - 139,625)^24 - 1 â
Calculando cada diferença:
(139,2 - 139,625)^2 = (−0,425)^2 = 0,1806
(139,8 - 139,625)^2 = (0,175)^2 = 0,0306
(140,1 - 139,625)^2 = (0,475)^2 = 0,2256
(139,4 - 139,625)^2 = (−0,225)^2 = 0,0506
Somando esses valores:
Variância = 0,1806 + 0,0306 + 0,2256 + 0,05063 = 0,48743 approx 0,1625 â
Agora, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raiz0,1625 approx 0,403 mmol/L ã

Passo 4

Como temos uma amostra pequena (n = 4), vamos usar a distribuição t de Student para calcular os intervalos de confiança. Precisamos encontrar o valor crítico de t para cada nível de confiança e graus de liberdade (df = n - 1 = 3).
Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma calculadora, encontramos:
  • Para 90% de confiança: $ t_{0,95} \approx 2,353 $
  • Para 95% de confiança: $ t_{0,975} \approx 3,182 $
  • Para 99% de confiança: $ t_{0,995} \approx 5,841 $

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média (EPM), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de observações.
EPM = 0,403raiz4 = 0,4032 = 0,2015 mmol/L

Passo 6

Com o erro padrão e os valores críticos de t, podemos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula:
Intervalo de Confiança = Média pm (t times EPM) çé

Passo 7

Vamos calcular para cada nível de confiança:
a) 90% de confiança:
Intervalo = 139,625 pm (2,353 times 0,2015)
Intervalo = 139,625 pm 0,475
Intervalo = [139,15 ; 140,10] mmol/L
b) 95% de confiança:
Intervalo = 139,625 pm (3,182 times 0,2015)
Intervalo = 139,625 pm 0,641
Intervalo = [138,98 ; 140,27] mmol/L
c) 99% de confiança:
Intervalo = 139,625 pm (5,841 times 0,2015)
Intervalo = 139,625 pm 1,177
Intervalo = [138,45 ; 140,80] mmol/L

Resposta

a) Para 90% de confiança, o intervalo está entre 139,15 mmol/L e 140,10 mmol/L.
b) Para 95% de confiança, o intervalo está entre 138,98 mmol/L e 140,27 mmol/L.
c) Para 99% de confiança, o intervalo está entre 138,45 mmol/L e 140,80 mmol/L.

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