Prove que as métricas, em R^n, mensionadas acima são equivalentes, isto é,
d^prime prime(x, y) <= d(x, y) <= d^prime(x, y) <= n d^prime prime(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que certas métricas em são equivalentes. Isso significa que queremos mostrar que elas estão todas relacionadas por algumas desigualdades específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são métricas (ou distâncias) em espaços vetoriais como e usar algumas propriedades básicas dessas métricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma métrica. Basicamente, uma métrica é uma função que define a distância entre dois pontos em um espaço. No d''(x, y) = max1 <= i <= n |xi - yi| , existem várias maneiras de definir essa distância. As métricas mais comuns que vamos considerar são:
  1. Métrica da Máxima ( d(x, y) = raizsumi=1^n (xi - yi)^2 ):
    d'(x, y) = sumi=1^n |xi - yi|
    Essa métrica pega a maior diferença absoluta entre as coordenadas correspondentes dos pontos e .
  2. Métrica Euclidiana ( ):
    Essa é a distância “normal” que a maioria das pessoas conhece, a distância reta entre dois pontos.
  3. Métrica da Soma ( ):
    Também conhecida como distância de Manhattan ou taxa de caminhada, soma todas as diferenças absolutas das coordenadas.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que:
d''(x, y) <= d(x, y) <= d'(x, y) <= n cdot d''(x, y)
Vamos provar cada uma dessas desigualdades passo a passo.

Passo 4

Primeira desigualdade: d''(x, y) = max |xi - yi| <= raizsumi=1^n (xi - yi)^2 = d(x, y)
A métrica da máxima pega a maior diferença absoluta entre as coordenadas. A métrica Euclidiana envolve a raiz quadrada da soma dos quadrados dessas diferenças. Como cada termo na soma é pelo menos tão grande quanto o quadrado da maior diferença, a raiz quadrada dessa soma será pelo menos a maior diferença.
Matematicamente:

Passo 5

Segunda desigualdade: d(x, y) = raizsumi=1^n (xi - yi)^2 <= sumi=1^n |xi - yi| = d'(x, y)
A métrica da soma simplesmente soma todas as diferenças absolutas. A métrica Euclidiana é a raiz quadrada dessa soma de quadrados. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, sabemos que a raiz quadrada da soma dos quadrados é sempre menor ou igual à soma das diferenças absolutas.
Ou seja:

Passo 6

Terceira desigualdade: d'(x, y) = sumi=1^n |xi - yi| <= sumi=1^n d''(x, y) = n cdot d''(x, y)
Aqui, queremos mostrar que a soma das diferenças absolutas é no máximo vezes a maior diferença. Como existem termos na soma e cada um deles é no máximo , a soma total não pode ser maior que vezes essa máxima diferença.
Matematicamente:

Resposta

Portanto, mostramos que:
d''(x, y) <= d(x, y) <= d'(x, y) <= n cdot d''(x, y)
Assim, as métricas em são equivalentes conforme solicitado.

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