Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
(norma da soma).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função
é uma norma no espaço vetorial
. Uma norma é uma função que atribui um número real não negativo a cada vetor, seguindo algumas propriedades específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender e verificar essas propriedades para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada uma norma:
- Positividade: Para todo vetor
, temos , e se e somente se for o vetor nulo. - Homogeneidade: Para todo escalar
e todo vetor , . - Desigualdade Triangular: Para todos os vetores
e , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
1. Positividade:
A função
é a soma de valores absolutos, que são sempre não negativos. Portanto,
para todo
.
Além disso,
se e somente se cada termo
, ou seja, se
para todo
. Isso significa que
é o vetor nulo.
2. Homogeneidade:
Vamos verificar se
.
Calculando
:
Isso mostra que
.
3. Desigualdade Triangular:
Precisamos provar que
.
Calculando
:
Sabemos que, para cada componente, vale a desigualdade triangular dos valores absolutos:
Somando essas desigualdades para todas as componentes:
Portanto, a desigualdade triangular está satisfeita.
Resposta
Concluímos que a função
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerada uma norma no espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Prove que as métricas, em
, mensionadas acima são equivalentes, isto é,
Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função:
Seja o espaço vetorial
. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
(métrica da soma).
Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
(norma euclidiana).