Seja o espaço vetorial R^n. Prove que são normas, para cada x=(x1, y2, ldots, xn) em R^n, as seguintes funções
|x|^prime=|x1|+|x2|+ldots+|xn| (norma da soma).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função |x|' = |x1| + |x2| + ldots + |xn| é uma norma no espaço vetorial R^n. Uma norma é uma função que atribui um número real não negativo a cada vetor, seguindo algumas propriedades específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender e verificar essas propriedades para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada uma norma:
  1. Positividade: Para todo vetor x, temos |x| >= 0, e |x| = 0 se e somente se x for o vetor nulo.
  2. Homogeneidade: Para todo escalar k e todo vetor x, |k x| = |k| cdot |x|.
  3. Desigualdade Triangular: Para todos os vetores x e y, |x + y| <= |x| + |y|.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função |x|'.

Passo 3

1. Positividade:
A função |x|' = |x1| + |x2| + ldots + |xn| é a soma de valores absolutos, que são sempre não negativos. Portanto, |x|' >= 0 para todo x in R^n.
Além disso, |x|' = 0 se e somente se cada termo |xi| = 0, ou seja, se xi = 0 para todo i. Isso significa que x é o vetor nulo.
2. Homogeneidade:
Vamos verificar se |k x|' = |k| cdot |x|'.
Calculando |k x|':
|k x|' = |k x1| + |k x2| + ldots + |k xn| = |k| |x1| + |k| |x2| + ldots + |k| |xn| = |k| (|x1| + |x2| + ldots + |xn|)
Isso mostra que |k x|' = |k| cdot |x|'.
3. Desigualdade Triangular:
Precisamos provar que |x + y|' <= |x|' + |y|'.
Calculando |x + y|':
|x + y|' = |x1 + y1| + |x2 + y2| + ldots + |xn + yn|
Sabemos que, para cada componente, vale a desigualdade triangular dos valores absolutos:
|xi + yi| <= |xi| + |yi|
Somando essas desigualdades para todas as componentes:
|x + y|' = sumi=1^n |xi + yi| <= sumi=1^n (|xi| + |yi|) = |x|' + |y|'
Portanto, a desigualdade triangular está satisfeita.

Resposta

Concluímos que a função |x|' = |x1| + |x2| + ldots + |xn| satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerada uma norma no espaço vetorial R^n.

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