Seja o espaço vetorial . Prove que são normas, para cada em , as seguintes funções
(norma da soma).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função é uma norma no espaço vetorial . Uma norma é uma função que atribui um número real não negativo a cada vetor, seguindo algumas propriedades específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender e verificar essas propriedades para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada uma norma:
  1. Positividade: Para todo vetor , temos , e se e somente se for o vetor nulo.
  2. Homogeneidade: Para todo escalar e todo vetor , .
  3. Desigualdade Triangular: Para todos os vetores e , .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

1. Positividade:
A função é a soma de valores absolutos, que são sempre não negativos. Portanto, para todo .
Além disso, se e somente se cada termo , ou seja, se para todo . Isso significa que é o vetor nulo.
2. Homogeneidade:
Vamos verificar se .
Calculando :
Isso mostra que .
3. Desigualdade Triangular:
Precisamos provar que .
Calculando :
Sabemos que, para cada componente, vale a desigualdade triangular dos valores absolutos:
Somando essas desigualdades para todas as componentes:
Portanto, a desigualdade triangular está satisfeita.

Resposta

Concluímos que a função satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerada uma norma no espaço vetorial .

Exercícios relacionados

Prove que as métricas, em , mensionadas acima são equivalentes, isto é,
Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função:
Seja o espaço vetorial . Prove que são métricas, para cada e em , as seguintes funções
(métrica da soma).
Seja o espaço vetorial . Prove que são normas, para cada em , as seguintes funções
(norma euclidiana).