Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de .

Passo 1

Neste exercício, vamos integrar analiticamente o polinômio que obtivemos no item (a) no intervalo de . Isso significa que vamos calcular a área sob a curva desse polinômio entre os valores e . Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais em um intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que integrar um polinômio envolve encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) de cada termo do polinômio. Por exemplo, se temos um termo como , sua integral será:
onde é a constante de integração. No caso de integrais definidas, como neste exercício, a constante não é necessária.

Passo 3

Vamos supor que o polinômio obtido no item (a) seja:
Nosso objetivo é encontrar a integral definida de no intervalo de , ou seja:

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
  3. Integral de :
Então, a antiderivada de é:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a na antiderivada encontrada:
Calculamos primeiro para :
Depois, para :

Resposta

A integral do polinômio no intervalo de é:
Então, o valor da integral é 8.

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