Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de [-1,1].

Passo 1

Neste exercício, vamos integrar analiticamente o polinômio que obtivemos no item (a) no intervalo de [-1,1]. Isso significa que vamos calcular a área sob a curva desse polinômio entre os valores x = -1 e x = 1. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais em um intervalo definido.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que integrar um polinômio envolve encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) de cada termo do polinômio. Por exemplo, se temos um termo como ax^n, sua integral será:
integral ax^n , dx = an+1x^n+1 + C
onde C é a constante de integração. No caso de integrais definidas, como neste exercício, a constante C não é necessária.

Passo 3

Vamos supor que o polinômio obtido no item (a) seja:
P(x) = 2x^3 - x + 4
Nosso objetivo é encontrar a integral definida de P(x) no intervalo de [-1,1], ou seja:
integral-1^1 (2x^3 - x + 4) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
  1. Integral de 2x^3:
    integral 2x^3 , dx = 2 cdot x^44 = 12x^4
  2. Integral de -x:
    integral -x , dx = -x^22
  3. Integral de 4:
    integral 4 , dx = 4x
Então, a antiderivada de P(x) é:
12x^4 - x^22 + 4x

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1 na antiderivada encontrada:
[ 12x^4 - x^22 + 4x ]-1^1
Calculamos primeiro para x = 1:
12(1)^4 - (1)^22 + 4(1) = 12 - 12 + 4 = 4
Depois, para x = -1:
12(-1)^4 - (-1)^22 + 4(-1) = 12 - 12 - 4 = -4

Resposta

A integral do polinômio P(x) = 2x^3 - x + 4 no intervalo de [-1,1] é:
4 - (-4) = 8
Então, o valor da integral é 8.

Exercícios relacionados