Determine o polinômio interpolador de Newton:
l|llll $x1$ & -1 & 2 & 5 & 6 hline $y1$ & 5 & 11 & 53 & 75 -1 2 5 6
5 11 53 75

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio interpolador de Newton usando os pontos dados na tabela. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, onde a gente encontra um polinômio que passa por todos os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Os pontos são:
c|cccc x & -1 & 2 & 5 & 6 hline y & 5 & 11 & 53 & 75
Esses são os pontos pelos quais o polinômio interpolador deve passar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas são usadas no método de Newton para construir o polinômio. Vamos começar com a primeira coluna das diferenças divididas, que são apenas os valores de f[xi] = yi :
c|c x & f[x] hline -1 & 5 2 & 11 5 & 53 6 & 75
Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular a primeira diferença dividida ( f[xi, xi+1] = f[xi+1] - f[xi]xi+1 - xi ) usando a fórmula:
f[-1, 2] = 11 - 52 - (-1) = 63 = 2
Aplicando para os primeiros pontos:
f[2, 5] = 53 - 115 - 2 = 423 = 14
f[5, 6] = 75 - 536 - 5 = 221 = 22
c|c|c x & f[x] & f[xi, xi+1] hline -1 & 5 & 2 2 & 11 & 14 5 & 53 & 22 6 & 75 & -
Agora, nossa tabela fica assim:

Passo 5

Vamos calcular a segunda diferença dividida ( f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi ) usando a fórmula:
f[-1, 2, 5] = 14 - 25 - (-1) = 126 = 2
Aplicando para os pontos:
f[2, 5, 6] = 22 - 146 - 2 = 84 = 2
c|c|c|c x & f[x] & f[xi, xi+1] & f[xi, xi+1, xi+2] hline -1 & 5 & 2 & 2 2 & 11 & 14 & 2 5 & 53 & 22 & - 6 & 75 & - & -
Atualizando a tabela:

Passo 6

Agora, calculamos a terceira diferença dividida ( f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = f[xi+1, xi+2, xi+3] - f[xi, xi+1, xi+2]xi+3 - xi ):
f[-1, 2, 5, 6] = 2 - 26 - (-1) = 07 = 0
Aplicando:
c|c|c|c|c x & f[x] & f[xi, xi+1] & f[xi, xi+1, xi+2] & f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] hline -1 & 5 & 2 & 2 & 0 2 & 11 & 14 & 2 & - 5 & 53 & 22 & - & - 6 & 75 & - & - & -
A tabela completa fica:

Passo 7

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + dots
No nosso caso, temos até a terceira diferença dividida:
P(x) = 5 + 2(x + 1) + 2(x + 1)(x - 2) + 0(x + 1)(x - 2)(x - 5)
Como a última diferença é zero, podemos ignorar esse termo. Então:
P(x) = 5 + 2(x + 1) + 2(x + 1)(x - 2)

Passo 8

Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandindo o segundo termo:
2(x + 1) = 2x + 2
Agora, expandindo o terceiro termo:
2(x + 1)(x - 2) = 2[(x)(x) + (x)(-2) + (1)(x) + (1)(-2)] = 2[x^2 -2x + x -2] = 2[x^2 -x -2] = 2x^2 -2x -4
Agora, somando tudo:
P(x) = 5 + 2x + 2 + 2x^2 -2x -4 = 2x^2 + (2x -2x) + (5 + 2 -4) = 2x^2 + 0x + 3

Resposta

O polinômio interpolador de Newton é:
P(x) = 2x^2 + 3

Exercícios relacionados