Determine o polinômio interpolador de Newton:
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-1 | 2 | 5 | 6 |
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5 | 11 | 53 | 75 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o polinômio interpolador de Newton usando os pontos dados na tabela. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, onde a gente encontra um polinômio que passa por todos os pontos fornecidos. Para isso, vamos precisar calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Os pontos são:
Esses são os pontos pelos quais o polinômio interpolador deve passar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas são usadas no método de Newton para construir o polinômio. Vamos começar com a primeira coluna das diferenças divididas, que são apenas os valores de
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular a primeira diferença dividida (
) usando a fórmula:
Aplicando para os primeiros pontos:
Agora, nossa tabela fica assim:
Passo 5
Vamos calcular a segunda diferença dividida (
) usando a fórmula:
Aplicando para os pontos:
Atualizando a tabela:
Passo 6
Agora, calculamos a terceira diferença dividida (
):
Aplicando:
A tabela completa fica:
Passo 7
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
No nosso caso, temos até a terceira diferença dividida:
Como a última diferença é zero, podemos ignorar esse termo. Então:
Passo 8
Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandindo o segundo termo:
Agora, expandindo o terceiro termo:
Agora, somando tudo:
Resposta
O polinômio interpolador de Newton é: