Determinar o valor aproximado de
pelo método do polinômio interpolador de Newton usando diferenças divididas e todos os pontos tabelados da função
.
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.0 | 0.2 | 0.3 | 0.5 | 0.6 |
|
1.008 | 1.064 | 1.125 | 1.343 | 1.512 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor aproximado de
usando o método do polinômio interpolador de Newton com diferenças divididas. Isso significa que vamos usar os pontos que a função
já nos deu para construir um polinômio que aproxima
perto de
. Para isso, vamos precisar calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os pontos que temos em uma tabela. Os pontos dados são:
Aqui,
são os valores de
e
são os valores correspondentes de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A ideia é encontrar coeficientes que vão nos ajudar a construir o polinômio de Newton. Começamos com as diferenças de primeira ordem, depois de segunda, e assim por diante.
Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem:
Vamos calcular para cada par de pontos:
Passo 4
Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos para as diferenças de terceira ordem:
Calculando:
Passo 6
Finalmente, calculamos a diferença de quarta ordem:
Passo 7
Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
Usando os valores que encontramos:
Passo 8
Agora, vamos substituir
no polinômio para encontrar
:
Resposta
O valor aproximado de
é 1.216.