Determinar o valor aproximado de f(0.4) pelo método do polinômio interpolador de Newton usando diferenças divididas e todos os pontos tabelados da função f(x).
i 0 1 2 3 4
xi 0.0 0.2 0.3 0.5 0.6
yi 1.008 1.064 1.125 1.343 1.512

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor aproximado de usando o método do polinômio interpolador de Newton com diferenças divididas. Isso significa que vamos usar os pontos que a função já nos deu para construir um polinômio que aproxima perto de . Para isso, vamos precisar calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos que temos em uma tabela. Os pontos dados são:
|c|c|c| hline i & xi & yi hline 0 & 0.0 & 1.008 1 & 0.2 & 1.064 2 & 0.3 & 1.125 3 & 0.5 & 1.343 4 & 0.6 & 1.512 hline
Aqui, são os valores de e são os valores correspondentes de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A ideia é encontrar coeficientes que vão nos ajudar a construir o polinômio de Newton. Começamos com as diferenças de primeira ordem, depois de segunda, e assim por diante.
Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Vamos calcular para cada par de pontos:
f[x0, x1] &= 1.064 - 1.0080.2 - 0.0 = 0.0560.2 = 0.28 f[x1, x2] &= 1.125 - 1.0640.3 - 0.2 = 0.0610.1 = 0.61 f[x2, x3] &= 1.343 - 1.1250.5 - 0.3 = 0.2180.2 = 1.09 f[x3, x4] &= 1.512 - 1.3430.6 - 0.5 = 0.1690.1 = 1.69

Passo 4

Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi
Calculando:
f[x0, x1, x2] &= 0.61 - 0.280.3 - 0.0 = 0.330.3 = 1.10 f[x1, x2, x3] &= 1.09 - 0.610.5 - 0.2 = 0.480.3 = 1.60 f[x2, x3, x4] &= 1.69 - 1.090.6 - 0.3 = 0.600.3 = 2.00

Passo 5

Agora, vamos para as diferenças de terceira ordem:
f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = f[xi+1, xi+2, xi+3] - f[xi, xi+1, xi+2]xi+3 - xi
Calculando:
f[x0, x1, x2, x3] &= 1.60 - 1.100.5 - 0.0 = 0.500.5 = 1.00 f[x1, x2, x3, x4] &= 2.00 - 1.600.6 - 0.2 = 0.400.4 = 1.00

Passo 6

Finalmente, calculamos a diferença de quarta ordem:
f[x0, x1, x2, x3, x4] = f[x1, x2, x3, x4] - f[x0, x1, x2, x3]x4 - x0 = 1.00 - 1.000.6 - 0.0 = 0.00

Passo 7

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + dots
Usando os valores que encontramos:
P(x) = 1.008 + 0.28(x - 0.0) + 1.10(x - 0.0)(x - 0.2) + 1.00(x - 0.0)(x - 0.2)(x - 0.3)

Passo 8

Agora, vamos substituir P(0.4) &= 1.008 + 0.28(0.4) + 1.10(0.4)(0.4 - 0.2) + 1.00(0.4)(0.4 - 0.2)(0.4 - 0.3) &= 1.008 + 0.112 + 1.10(0.4)(0.2) + 1.00(0.4)(0.2)(0.1) &= 1.008 + 0.112 + 1.10(0.08) + 1.00(0.008) &= 1.008 + 0.112 + 0.088 + 0.008 &= 1.216 no polinômio para encontrar :

Resposta

O valor aproximado de é 1.216.

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