Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel , com o ou no máximo 8 iterações. Considere

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares, especialmente útil quando o sistema é grande. Vamos precisar saber como reorganizar as equações para aplicar o método e ter uma condição de parada, que aqui é um erro menor que ou no máximo 8 iterações. Nosso ponto de partida é o vetor inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
O método de Gauss-Seidel requer que a gente isole cada variável em termos das outras. Vamos reescrever as equações:
  1. Da primeira equação, isolamos :
  1. Da segunda equação, isolamos :
Agora, temos as fórmulas para atualizar e em cada iteração.

Passo 3

Vamos começar com a primeira iteração usando o vetor inicial .
Atualizando :
Atualizando :
Então, o vetor após a primeira iteração é:

Passo 4

Segunda iteração:
Atualizando :
Atualizando :
Novo vetor:

Passo 5

Terceira iteração:
Atualizando :
Atualizando :
Vetor atualizado:

Passo 6

Vamos verificar o erro atual. O critério é que a diferença entre as iterações seja menor que .
Calculando as diferenças:
Como ainda não atingimos o erro desejado, seguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Quarta iteração:
Atualizando :
Atualizando :
Vetor atualizado:

Passo 8

Verificando o erro novamente:
Ainda não atingimos , então vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Quinta iteração:
Atualizando :
Atualizando :
Vetor atualizado:

Passo 10

Verificando o erro:
Agora, para , a diferença está abaixo de , mas para ainda não. Continuamos.

Passo 11

Sexta iteração:
Atualizando :
Atualizando :
Vetor atualizado:

Passo 12

Verificando o erro:
Agora, ambas as diferenças estão abaixo de . Podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:

[


]

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