Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel , com o epsilon<10^-2 ou no máximo 8 iterações. Considere x^(0)= [0,2 0,2]^T
l 2 x-y=0 x+2 y=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares, especialmente útil quando o sistema é grande. Vamos precisar saber como reorganizar as equações para aplicar o método e ter uma condição de parada, que aqui é um erro menor que 0,2 0,2 ou no máximo 8 iterações. Nosso ponto de partida é o vetor inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
2x - y = 0 x + 2y = 5
O método de Gauss-Seidel requer que a gente isole cada variável em termos das outras. Vamos reescrever as equações:
  1. Da primeira equação, isolamos 2x = y implies x = y2 :
2y = 5 - x implies y = 5 - x2
  1. Da segunda equação, isolamos :
Agora, temos as fórmulas para atualizar e em cada iteração.

Passo 3

Vamos começar com a primeira iteração usando o vetor inicial 0,2 0,2 .
Atualizando x^(1) = y^(0)2 = 0,22 = 0,1 :
y^(1) = 5 - x^(1)2 = 5 - 0,12 = 4,92 = 2,45
Atualizando x^(1) = 0,1 2,45 :
Então, o vetor após a primeira iteração é:

Passo 4

Segunda iteração:
Atualizando x^(2) = y^(1)2 = 2,452 = 1,225 :
y^(2) = 5 - x^(2)2 = 5 - 1,2252 = 3,7752 = 1,8875
Atualizando x^(2) = 1,225 1,8875 :
Novo vetor:

Passo 5

Terceira iteração:
Atualizando x^(3) = y^(2)2 = 1,88752 = 0,94375 :
y^(3) = 5 - x^(3)2 = 5 - 0,943752 = 4,056252 = 2,028125
Atualizando x^(3) = 0,94375 2,028125 :
Vetor atualizado:

Passo 6

Vamos verificar o erro atual. O critério é que a diferença entre as iterações seja menor que |x^(3) - x^(2)| = |0,94375 - 1,225| = 0,28125 |y^(3) - y^(2)| = |2,028125 - 1,8875| = 0,140625 .
Calculando as diferenças:
Como ainda não atingimos o erro desejado, seguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Quarta iteração:
Atualizando x^(4) = y^(3)2 = 2,0281252 = 1,0140625 :
y^(4) = 5 - x^(4)2 = 5 - 1,01406252 = 3,98593752 = 1,99296875
Atualizando x^(4) = 1,0140625 1,99296875 :
Vetor atualizado:

Passo 8

Verificando o erro novamente:
|x^(4) - x^(3)| = |1,0140625 - 0,94375| = 0,0703125 |y^(4) - y^(3)| = |1,99296875 - 2,028125| = 0,03515625
Ainda não atingimos , então vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Quinta iteração:
Atualizando x^(5) = y^(4)2 = 1,992968752 = 0,996484375 :
y^(5) = 5 - x^(5)2 = 5 - 0,9964843752 = 4,0035156252 = 2,0017578125
Atualizando x^(5) = 0,996484375 2,0017578125 :
Vetor atualizado:

Passo 10

Verificando o erro:
|x^(5) - x^(4)| = |0,996484375 - 1,0140625| = 0,017578125 |y^(5) - y^(4)| = |2,0017578125 - 1,99296875| = 0,0087890625
Agora, para , a diferença está abaixo de , mas para ainda não. Continuamos.

Passo 11

Sexta iteração:
Atualizando x^(6) = y^(5)2 = 2,00175781252 = 1,00087890625 :
y^(6) = 5 - x^(6)2 = 5 - 1,000878906252 = 3,999121093752 = 1,999560546875
Atualizando x^(6) = 1,00087890625 1,999560546875 :
Vetor atualizado:

Passo 12

Verificando o erro:
|x^(6) - x^(5)| = |1,00087890625 - 0,996484375| = 0,00439453125 |y^(6) - y^(5)| = |1,999560546875 - 2,0017578125| = 0,002197265625
Agora, ambas as diferenças estão abaixo de . Podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:

[
x y = 1,0009 1,9996


]

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