Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel , com o
ou no máximo 8 iterações. Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente resolver um sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares, especialmente útil quando o sistema é grande. Vamos precisar saber como reorganizar as equações para aplicar o método e ter uma condição de parada, que aqui é um erro menor que
ou no máximo 8 iterações. Nosso ponto de partida é o vetor inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
O método de Gauss-Seidel requer que a gente isole cada variável em termos das outras. Vamos reescrever as equações:
- Da primeira equação, isolamos
:
- Da segunda equação, isolamos
:
Agora, temos as fórmulas para atualizar
e
em cada iteração.
Passo 3
Vamos começar com a primeira iteração usando o vetor inicial
.
Atualizando
:
Atualizando
:
Então, o vetor após a primeira iteração é:
Passo 4
Segunda iteração:
Atualizando
:
Atualizando
:
Novo vetor:
Passo 5
Terceira iteração:
Atualizando
:
Atualizando
:
Vetor atualizado:
Passo 6
Vamos verificar o erro atual. O critério é que a diferença entre as iterações seja menor que
.
Calculando as diferenças:
Como ainda não atingimos o erro desejado, seguimos para a próxima iteração.
Passo 7
Quarta iteração:
Atualizando
:
Atualizando
:
Vetor atualizado:
Passo 8
Verificando o erro novamente:
Ainda não atingimos
, então vamos para a próxima iteração.
Passo 9
Quinta iteração:
Atualizando
:
Atualizando
:
Vetor atualizado:
Passo 10
Verificando o erro:
Agora, para
, a diferença está abaixo de
, mas para
ainda não. Continuamos.
Passo 11
Sexta iteração:
Atualizando
:
Atualizando
:
Vetor atualizado:
Passo 12
Verificando o erro:
Agora, ambas as diferenças estão abaixo de
. Podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
[
]