Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com ou no máximo 8 iterações. Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema linear usando o método de Jacobi. O sistema é:
Vamos precisar entender como funciona o método de Jacobi, que é uma técnica iterativa para achar soluções de sistemas lineares. Além disso, vamos usar uma estimativa inicial e iterar até que a diferença entre as soluções consecutivas seja menor que ou até no máximo 8 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de forma que cada equação resolva uma das variáveis em função da outra. Isso é essencial para o método de Jacobi.
Da primeira equação , isolamos :
Da segunda equação , isolamos :
Então, temos as equações iterativas:
Passo 3
Vamos começar com a estimativa inicial .
Iteração 1:
Passo 4
Iteração 2:
Agora, vamos verificar a diferença entre e , e entre e :
Ainda não alcançamos a precisão desejada, então seguimos.
Passo 5
Iteração 3:
Diferenças:
Ainda não atingimos a precisão, vamos continuar.
Passo 6
Iteração 4:
Diferenças:
Ainda não, seguimos para a próxima iteração.
Passo 7
Iteração 5:
Diferenças:
Um dos valores já atingiu a precisão, mas precisamos que ambos estejam abaixo de . Vamos continuar.
Passo 8
Iteração 6:
Diferenças:
Ainda não atingimos a precisão em ambas as variáveis, mas já fizemos 6 iterações. Vamos para mais duas para completar o limite de 8.
Passo 9
Iteração 7:
Diferenças:
Ainda falta uma iteração.
Passo 10
Iteração 8:
Diferenças:
Chegamos ao limite de 8 iterações.
Resposta
Após 8 iterações, o vetor solução aproximado pelo método de Jacobi é: