Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com 0 epsilon<10^-2 ou no máximo 8 iterações. Considere x^(0)= [0,2 0,2]^T
l 2 x-y=0 x+2 y=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema linear usando o método de Jacobi. O sistema é:
2x - y = 0 x + 2y = 5
Vamos precisar entender como funciona o método de Jacobi, que é uma técnica iterativa para achar soluções de sistemas lineares. Além disso, vamos usar uma estimativa inicial 0,2 0,2 e iterar até que a diferença entre as soluções consecutivas seja menor que ou até no máximo 8 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de forma que cada equação resolva uma das variáveis em função da outra. Isso é essencial para o método de Jacobi.
Da primeira equação x = y2 , isolamos y = 5 - x2 :
x^(k+1) = y^(k)2
Da segunda equação y^(k+1) = 5 - x^(k)2 , isolamos :
Então, temos as equações iterativas:

Passo 3

Vamos começar com a estimativa inicial 0,2 0,2 .
Iteração 1:
x^(1) = y^(0)2 = 0,22 = 0,1
y^(1) = 5 - x^(0)2 = 5 - 0,22 = 4,82 = 2,4

Passo 4

Iteração 2:
x^(2) = y^(1)2 = 2,42 = 1,2
y^(2) = 5 - x^(1)2 = 5 - 0,12 = 4,92 = 2,45
Agora, vamos verificar a diferença entre |x^(2) - x^(1)| = |1,2 - 0,1| = 1,1 > 0,01 e |y^(2) - y^(1)| = |2,45 - 2,4| = 0,05 > 0,01 , e entre e :
Ainda não alcançamos a precisão desejada, então seguimos.

Passo 5

Iteração 3:
x^(3) = y^(2)2 = 2,452 = 1,225
y^(3) = 5 - x^(2)2 = 5 - 1,22 = 3,82 = 1,9
Diferenças:
|x^(3) - x^(2)| = |1,225 - 1,2| = 0,025 > 0,01
|y^(3) - y^(2)| = |1,9 - 2,45| = 0,55 > 0,01
Ainda não atingimos a precisão, vamos continuar.

Passo 6

Iteração 4:
x^(4) = y^(3)2 = 1,92 = 0,95
y^(4) = 5 - x^(3)2 = 5 - 1,2252 = 3,7752 = 1,8875
Diferenças:
|x^(4) - x^(3)| = |0,95 - 1,225| = 0,275 > 0,01
|y^(4) - y^(3)| = |1,8875 - 1,9| = 0,0125 > 0,01
Ainda não, seguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Iteração 5:
x^(5) = y^(4)2 = 1,88752 = 0,94375
y^(5) = 5 - x^(4)2 = 5 - 0,952 = 4,052 = 2,025
Diferenças:
|x^(5) - x^(4)| = |0,94375 - 0,95| = 0,00625 < 0,01
|y^(5) - y^(4)| = |2,025 - 1,8875| = 0,1375 > 0,01
Um dos valores já atingiu a precisão, mas precisamos que ambos estejam abaixo de . Vamos continuar.

Passo 8

Iteração 6:
x^(6) = y^(5)2 = 2,0252 = 1,0125
y^(6) = 5 - x^(5)2 = 5 - 0,943752 = 4,056252 = 2,028125
Diferenças:
|x^(6) - x^(5)| = |1,0125 - 0,94375| = 0,06875 > 0,01
|y^(6) - y^(5)| = |2,028125 - 2,025| = 0,003125 < 0,01
Ainda não atingimos a precisão em ambas as variáveis, mas já fizemos 6 iterações. Vamos para mais duas para completar o limite de 8.

Passo 9

Iteração 7:
x^(7) = y^(6)2 = 2,0281252 = 1,0140625
y^(7) = 5 - x^(6)2 = 5 - 1,01252 = 3,98752 = 1,99375
Diferenças:
|x^(7) - x^(6)| = |1,0140625 - 1,0125| = 0,0015625 < 0,01
|y^(7) - y^(6)| = |1,99375 - 2,028125| = 0,034375 > 0,01
Ainda falta uma iteração.

Passo 10

Iteração 8:
x^(8) = y^(7)2 = 1,993752 = 0,996875
y^(8) = 5 - x^(7)2 = 5 - 1,01406252 = 3,98593752 = 1,99296875
Diferenças:
|x^(8) - x^(7)| = |0,996875 - 1,0140625| = 0,0171875 > 0,01
|y^(8) - y^(7)| = |1,99296875 - 1,99375| = 0,00078125 < 0,01
Chegamos ao limite de 8 iterações.

Resposta

Após 8 iterações, o vetor solução aproximado pelo método de Jacobi é:
x approx 0,996875 1,99296875

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