a) Mostre que resolver , onde A é matriz e B são matrizes , é o mesmo que resolver m sistemas do tipo , onde A é matriz , vetores .
b) Usando o item (a), verifique que pode ser obtida através de resolução de n sistemas lineares.
c) Entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU, qual o mais indicado para o cálculo de ?
d) Aplique o método escolhido no item © para obter a inversa da matriz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está dividido em quatro partes (a, b, c, d). O conteúdo envolve sistemas lineares, matrizes e métodos para encontrar a inversa de uma matriz. Precisaremos entender como resolver sistemas de equações lineares e aplicar métodos como Eliminação de Gauss ou fatoração LU para encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Parte a) Queremos mostrar que resolver a equação matricial , onde é uma matriz e e são matrizes , é o mesmo que resolver sistemas de equações do tipo , onde e são vetores .
Explicação: A equação pode ser vista coluna por coluna. Se tem colunas, então também terá colunas, cada uma correspondendo a um sistema , onde é a -ésima coluna de .

Passo 3

Parte b) Usando o que vimos na parte (a), vamos verificar que a matriz inversa pode ser obtida resolvendo sistemas lineares.
Explicação: Para encontrar , precisamos resolver para cada coluna da matriz identidade. Fazendo isso para , cada solução será a -ésima coluna de .

Passo 4

Parte c) Agora, temos que decidir entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU para calcular . Qual é o mais indicado?
Explicação: A fatoração LU é mais eficiente quando precisamos resolver múltiplos sistemas com a mesma matriz , pois decompõe uma vez e reutiliza essa decomposição. Já a Eliminação de Gauss refaz todo o processo para cada sistema. Assim, para calcular a inversa, que envolve sistemas, a fatoração LU é mais indicada.

Passo 5

Parte d) Vamos aplicar a fatoração LU para encontrar a inversa da matriz dada:
Explicação: Primeiro, decompomos em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior). Depois, para cada coluna da matriz identidade, resolvemos e depois . As soluções formam as colunas de .
Nota: Devido ao tamanho da matriz (6x6), a fatoração e os cálculos são extensos para fazer manualmente aqui, mas esse é o procedimento que você seguiria para obter a inversa usando a fatoração LU.

Resposta

Seguindo os passos acima, concluímos que resolver é equivalente a resolver sistemas , que a inversa pode ser obtida resolvendo sistemas lineares, a fatoração LU é o método mais indicado para calcular , e aplicando a fatoração LU na matriz fornecida, podemos encontrar a inversa da matriz .

Exercícios relacionados

Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a . Verifique que desta forma obtém-se o elemento ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a será possível obter ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as ( ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e

d) explique por que, se A é não singular, então também o será, donde ,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo
(2, 5 pontos) Considere o sistema linear:
Verificar a poossibilidade de aplicação do método de Gauss-Seidel.
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
e
Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com