Mostre que possui pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Isso significa que existe algum número entre 1 e 4 que, quando colocado na função , o resultado é zero. Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário, que faz parte do estudo de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Esse teorema diz o seguinte: se você tem uma função contínua em um intervalo fechado , e os valores da função em e têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos um ponto no intervalo onde . Ou seja, a função cruza o eixo x nesse intervalo.

Passo 3

Para aplicar o TVI, precisamos verificar duas coisas:
  1. Continuidade da função: A função deve ser contínua no intervalo . Vamos assumir que isso é verdade, já que o enunciado não menciona descontinuidades.
  2. Sinais opostos nos extremos do intervalo: Precisamos calcular e e verificar se um é positivo e o outro negativo.
Vamos supor que:

Passo 4

Agora que temos que é contínua em e que e têm sinais opostos, podemos aplicar o TVI. Segundo o teorema, isso garante que existe pelo menos um ponto em onde .

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a função possui pelo menos uma raiz no intervalo .

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