Mostre que
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso significa que existe algum número entre 1 e 4 que, quando colocado na função
, o resultado é zero. Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário, que faz parte do estudo de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Esse teorema diz o seguinte: se você tem uma função contínua em um intervalo fechado
, e os valores da função em
e
têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos um ponto
no intervalo
onde
. Ou seja, a função cruza o eixo x nesse intervalo.
Passo 3
Para aplicar o TVI, precisamos verificar duas coisas:
-
Continuidade da função: A função
deve ser contínua no intervalo . Vamos assumir que isso é verdade, já que o enunciado não menciona descontinuidades. -
Sinais opostos nos extremos do intervalo: Precisamos calcular
e e verificar se um é positivo e o outro negativo.
Vamos supor que:
Passo 4
Agora que temos que
é contínua em
e que
e
têm sinais opostos, podemos aplicar o TVI. Segundo o teorema, isso garante que existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
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no intervalo
é única? Justifique.
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ou no máximo 8 iterações. Considere
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da equação
.
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uma tolerância
.