É possível afirmar que essa raiz de
no intervalo
é única? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a raiz de
no intervalo
é única e pede uma justificativa. Isso envolve conceitos de funções contínuas e talvez algo sobre derivadas para entender o comportamento da função nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar saber se a função
é contínua nesse intervalo e se ela tem propriedades que garantam que ela cruza o eixo
apenas uma vez.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. A continuidade é importante porque, segundo o Teorema do Valor Intermediário, se a função é contínua e assume valores de sinais opostos nos extremos do intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Depois de confirmar a continuidade, vamos analisar o comportamento da função
no intervalo. Se a função for estritamente crescente ou estritamente decrescente em
, isso significa que ela não pode voltar atrás, ou seja, não pode ter mais de um ponto onde cruza o eixo
. Isso garantiria que a raiz é única.
Passo 4
Para determinar se
é estritamente crescente ou decrescente, podemos olhar para a derivada de
, representada por
. Se
para todo
em
, a função é estritamente crescente. Se
para todo
em
, a função é estritamente decrescente. Essa informação nos ajuda a garantir a unicidade da raiz.
Passo 5
Caso a derivada mude de sinal ou seja igual a zero em algum ponto dentro do intervalo, a função pode ter pontos de máximo ou mínimo, o que pode permitir que ela cruze o eixo
mais de uma vez. Nesse caso, não poderíamos afirmar com certeza que a raiz é única sem uma análise mais aprofundada.
Resposta
Portanto, se a função
for contínua e estritamente crescente ou decrescente no intervalo
, podemos afirmar que a raiz de
nesse intervalo é única.
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ou no máximo 8 iterações. Considere
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Mostre que
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
Faça três iterações do Método da Bisseç̧ão para estimar a solução
da equação
.