É possível afirmar que essa raiz de no intervalo é única? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a raiz de no intervalo é única e pede uma justificativa. Isso envolve conceitos de funções contínuas e talvez algo sobre derivadas para entender o comportamento da função nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar saber se a função é contínua nesse intervalo e se ela tem propriedades que garantam que ela cruza o eixo apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . A continuidade é importante porque, segundo o Teorema do Valor Intermediário, se a função é contínua e assume valores de sinais opostos nos extremos do intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Depois de confirmar a continuidade, vamos analisar o comportamento da função no intervalo. Se a função for estritamente crescente ou estritamente decrescente em , isso significa que ela não pode voltar atrás, ou seja, não pode ter mais de um ponto onde cruza o eixo . Isso garantiria que a raiz é única.

Passo 4

Para determinar se é estritamente crescente ou decrescente, podemos olhar para a derivada de , representada por . Se para todo em , a função é estritamente crescente. Se para todo em , a função é estritamente decrescente. Essa informação nos ajuda a garantir a unicidade da raiz.

Passo 5

Caso a derivada mude de sinal ou seja igual a zero em algum ponto dentro do intervalo, a função pode ter pontos de máximo ou mínimo, o que pode permitir que ela cruze o eixo mais de uma vez. Nesse caso, não poderíamos afirmar com certeza que a raiz é única sem uma análise mais aprofundada.

Resposta

Portanto, se a função for contínua e estritamente crescente ou decrescente no intervalo , podemos afirmar que a raiz de nesse intervalo é única.

Exercícios relacionados

Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel , com o ou no máximo 8 iterações. Considere
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com ou no máximo 8 iterações. Considere
Mostre que possui pelo menos uma raiz no intervalo .
Faça três iterações do Método da Bisseç̧ão para estimar a solução da equação .