Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0
e
.
Note que, embora nada na equação dada proíba
de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para
(por que excluímos o conjunto
?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é
.
^0
Note que, embora nada na equação dada proíba
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa equação diferencial com uma condição inicial tem uma solução proposta. A equação é
com a condição inicial
, e a solução sugerida é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se essa função realmente resolve a equação e atende à condição inicial. Vamos fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função proposta
satisfaz a equação diferencial
.
Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
A função
pode ser simplificada:
Agora, vamos calcular
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Observamos que
e
. Substituindo de volta:
Portanto, a equação se mantém verdadeira, o que mostra que a função proposta satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos verificar a condição inicial
.
Substituindo
na função proposta:
Então, a condição inicial também é satisfeita pela função proposta.
Passo 4
Por último, vamos entender por que a solução
é válida apenas para
.
Observamos que a função tem um denominador
. Se
, estaríamos dividindo por zero, o que não é permitido matematicamente. Além disso, mesmo que a equação diferencial não proíba
, a solução proposta não é definida nesse ponto. Por isso, restringimos o intervalo de validade para
.
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação diferencial
e atende à condição inicial
. A solução é válida para todo
.