Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 t x' + x = t exp(t) e x(1)=1 ; x(t)=(1-exp(t)+t*exp(t))/t.
Note que, embora nada na equação dada proíba t de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para t > 0 (por que excluímos o conjunto t < 0 ?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é (0, infinito).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa equação diferencial com uma condição inicial tem uma solução proposta. A equação é com a condição inicial , e a solução sugerida é . Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se essa função realmente resolve a equação e atende à condição inicial. Vamos fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função proposta satisfaz a equação diferencial .
Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
A função pode ser simplificada:
Agora, vamos calcular :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
Simplificando:
Observamos que e . Substituindo de volta:
Portanto, a equação se mantém verdadeira, o que mostra que a função proposta satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição inicial .
Substituindo na função proposta:
Então, a condição inicial também é satisfeita pela função proposta.

Passo 4

Por último, vamos entender por que a solução é válida apenas para .
Observamos que a função tem um denominador . Se , estaríamos dividindo por zero, o que não é permitido matematicamente. Além disso, mesmo que a equação diferencial não proíba , a solução proposta não é definida nesse ponto. Por isso, restringimos o intervalo de validade para .

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial e atende à condição inicial . A solução é válida para todo .

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