Determine o campo das seguintes equações:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O enunciado diz: "Determine o campo das seguintes equações: (a) ". Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais, especificamente tentando determinar o campo direcional dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo direcional e como construí-lo a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a derivada de em relação a algum parâmetro, geralmente o tempo. A equação relaciona essa derivada com o seno de . O campo direcional é uma representação gráfica que nos mostra a inclinação das soluções da equação diferencial em diferentes pontos do eixo .

Passo 3

Para construir o campo direcional, vamos calcular para vários valores de . Isso nos dará a inclinação da reta tangente à solução em cada ponto . Vamos fazer isso para alguns pontos chave:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante, repetindo a cada .

Passo 4

Agora, vamos plotar esses pontos no eixo e desenhar pequenas retas com as inclinações correspondentes. Por exemplo:
  • Em , a inclinação é 0, então desenhamos uma reta horizontal.
  • Em , a inclinação é 1, então desenhamos uma reta inclinada positivamente.
  • Em , a inclinação volta a ser 0, então outra reta horizontal.
  • Em , a inclinação é -1, então uma reta inclinada negativamente.

Passo 5

Depois de plotar vários desses pontos, teremos uma visão geral do campo direcional da equação . Esse campo nos ajuda a visualizar como as soluções da equação se comportam ao longo do eixo . Vemos que as inclinações variam de -1 a 1 de forma periódica, refletindo a natureza periódica da função seno.

Resposta

O campo direcional da equação apresenta retas inclinadas com inclinações que variam periodicamente entre -1 e 1, seguindo o comportamento da função seno. Isso indica que as soluções oscilam de forma periódica ao longo do eixo , com pontos de equilíbrio em , onde é um inteiro.

Exercícios relacionados

Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 e .
Note que, embora nada na equação dada proíba de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para (por que excluímos o conjunto ?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é .
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
© , onde são constantes.
Determine o campo das seguintes equações:
(d)
Determine o campo das seguintes equações:
(e)