Determine o campo das seguintes equações:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. O enunciado diz: "Determine o campo das seguintes equações: (a)
". Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais, especificamente tentando determinar o campo direcional dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo direcional e como construí-lo a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa a derivada de
em relação a algum parâmetro, geralmente o tempo. A equação
relaciona essa derivada com o seno de
. O campo direcional é uma representação gráfica que nos mostra a inclinação das soluções da equação diferencial em diferentes pontos do eixo
.
Passo 3
Para construir o campo direcional, vamos calcular
para vários valores de
. Isso nos dará a inclinação da reta tangente à solução em cada ponto
. Vamos fazer isso para alguns pontos chave:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante, repetindo a cada
.
Passo 4
Agora, vamos plotar esses pontos no eixo
e desenhar pequenas retas com as inclinações correspondentes. Por exemplo:
- Em
, a inclinação é 0, então desenhamos uma reta horizontal. - Em
, a inclinação é 1, então desenhamos uma reta inclinada positivamente. - Em
, a inclinação volta a ser 0, então outra reta horizontal. - Em
, a inclinação é -1, então uma reta inclinada negativamente.
Passo 5
Depois de plotar vários desses pontos, teremos uma visão geral do campo direcional da equação
. Esse campo nos ajuda a visualizar como as soluções da equação se comportam ao longo do eixo
. Vemos que as inclinações variam de -1 a 1 de forma periódica, refletindo a natureza periódica da função seno.
Resposta
O campo direcional da equação
apresenta retas inclinadas com inclinações que variam periodicamente entre -1 e 1, seguindo o comportamento da função seno. Isso indica que as soluções oscilam de forma periódica ao longo do eixo
, com pontos de equilíbrio em
, onde
é um inteiro.
Exercícios relacionados
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 e
.
Note que, embora nada na equação dada proíba de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para
(por que excluímos o conjunto
?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é
.
^0
Note que, embora nada na equação dada proíba
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
© , onde
são constantes.
©
Determine o campo das seguintes equações:
(d)
(d)
Determine o campo das seguintes equações:
(e)
(e)