Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
© , onde são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem e uma solução proposta para essa equação. O que precisamos fazer é verificar se essa solução realmente satisfaz a EDO dada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da solução proposta e substituí-las na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a EDO e a solução proposta:
A EDO é:
A solução proposta é:
onde e são constantes.

Passo 3

Para verificar se é realmente uma solução da EDO, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
Vamos começar calculando a primeira derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada :

Passo 5

Agora, vamos substituir , e na EDO original:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:
A igualdade se confirma verdadeira.

Resposta

Sim, a solução proposta satisfaz a EDO fornecida.

Exercícios relacionados

Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(b) , onde é uma constante.
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(a) , onde é uma constante.
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 e .
Note que, embora nada na equação dada proíba de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para (por que excluímos o conjunto ?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é .
Determine o campo das seguintes equações:
(a)