Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
© x^prime prime+5 x^prime+4 x=sen(t), x(t)=c1 exp (-4 t)+c2 exp (-t)+134[3 sen(t)-5 cos (t)], onde c1 e c2 são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem e uma solução proposta para essa equação. O que precisamos fazer é verificar se essa solução realmente satisfaz a EDO dada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da solução proposta e substituí-las na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a EDO e a solução proposta:
A EDO é:
A solução proposta é:
onde x'' + 5x' + 4x = sen(t) e x(t) = c1 e^-4t + c2 e^-t + 134[3 sen(t) - 5 cos(t)] são constantes.

Passo 3

Para verificar se x'(t) = ddt( c1 e^-4t ) + ddt( c2 e^-t ) + ddt( 134[3 sen(t) - 5 cos(t)] ) é realmente uma solução da EDO, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de x'(t) = -4c1 e^-4t - c2 e^-t + 134[3 cos(t) + 5 sen(t)] .
Vamos começar calculando a primeira derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada x''(t) = ddt( -4c1 e^-4t ) + ddt( -c2 e^-t ) + ddt( 134[3 cos(t) + 5 sen(t)] ) :

Passo 5

Agora, vamos substituir x'' + 5x' + 4x = sen(t) , 16c1 e^-4t + c2 e^-t + 134[-3 sen(t) + 5 cos(t)] + 5( -4c1 e^-4t - c2 e^-t + 134[3 cos(t) + 5 sen(t)] ) + 4( c1 e^-4t + c2 e^-t + 134[3 sen(t) - 5 cos(t)] ) = sen(t) e na EDO original:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:
A igualdade se confirma verdadeira.

Resposta

Sim, a solução proposta satisfaz a EDO fornecida.

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