Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
©
, onde
são constantes.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem e uma solução proposta para essa equação. O que precisamos fazer é verificar se essa solução realmente satisfaz a EDO dada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da solução proposta e substituí-las na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a EDO e a solução proposta:
A EDO é:
A solução proposta é:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Para verificar se
é realmente uma solução da EDO, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
Vamos começar calculando a primeira derivada
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na EDO original:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:
A igualdade se confirma verdadeira.
Resposta
Sim, a solução proposta satisfaz a EDO fornecida.
Exercícios relacionados
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(b) , onde
é uma constante.
(b)
Verifique que as seguintes EDOs admitem as soluções propostas:
(a) , onde
é uma constante.
(a)
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
^0 e
.
Note que, embora nada na equação dada proíba de assumir valor nulo, a solução do PVI apresentado só é válida para
(por que excluímos o conjunto
?). Dizemos então que o intervalo de validade dessa solução é
.
^0
Note que, embora nada na equação dada proíba
Determine o campo das seguintes equações:
(a)
(a)