Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que
mantenha o sinal.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente isolar pelo menos uma raiz da função
. Além disso, precisamos escrever um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada
mantenha o mesmo sinal. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, raízes de funções e derivadas pra resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma raiz da função
. Uma maneira fácil de começar é tentar valores inteiros para ver se algum deles anula a função.
Vamos testar
:
Não é raiz.
Agora,
:
Também não é raiz.
Vamos tentar
:
Aí sim!
é uma raiz da função.
Passo 3
Agora que encontramos
como raiz, vamos determinar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada
não muda de sinal.
Primeiro, calculamos a derivada da função:
Essa é a função derivada que vamos analisar.
Passo 4
Para garantir que
mantenha o mesmo sinal no intervalo escolhido, precisamos encontrar onde a derivada não muda de sinal perto da raiz
.
Vamos calcular
:
Então,
. Agora, vamos ver o comportamento da derivada em um intervalo ao redor de
, por exemplo, entre
e
.
Calculemos
:
E
:
Vemos que a derivada muda de sinal nesse intervalo. Então, vamos escolher um intervalo menor, por exemplo, entre
e
, e verificar novamente.
Passo 5
Vamos calcular
:
E
:
Ainda vemos mudança de sinal. Vamos reduzir mais o intervalo para
a
.
Calculemos
:
E
:
Agora, dentro desse intervalo
, a derivada mantém o sinal negativo.
Resposta
Uma das raízes é
. Um intervalo que contém essa raiz e onde
mantém o sinal negativo é
.