Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente isolar pelo menos uma raiz da função . Além disso, precisamos escrever um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada mantenha o mesmo sinal. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, raízes de funções e derivadas pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma raiz da função . Uma maneira fácil de começar é tentar valores inteiros para ver se algum deles anula a função.
Vamos testar :
Não é raiz.
Agora, :
Também não é raiz.
Vamos tentar :
Aí sim! é uma raiz da função.

Passo 3

Agora que encontramos como raiz, vamos determinar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada não muda de sinal.
Primeiro, calculamos a derivada da função:
Essa é a função derivada que vamos analisar.

Passo 4

Para garantir que mantenha o mesmo sinal no intervalo escolhido, precisamos encontrar onde a derivada não muda de sinal perto da raiz .
Vamos calcular :
Então, . Agora, vamos ver o comportamento da derivada em um intervalo ao redor de , por exemplo, entre e .
Calculemos :
E :
Vemos que a derivada muda de sinal nesse intervalo. Então, vamos escolher um intervalo menor, por exemplo, entre e , e verificar novamente.

Passo 5

Vamos calcular :
E :
Ainda vemos mudança de sinal. Vamos reduzir mais o intervalo para a .
Calculemos :
E :
Agora, dentro desse intervalo , a derivada mantém o sinal negativo.

Resposta

Uma das raízes é . Um intervalo que contém essa raiz e onde mantém o sinal negativo é .

Exercícios relacionados

Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se : ou .
Uma empresa petroquímica utiliza um reator industrial que precisa operar dentro de uma faixa de temperatura controlada para manter a eficiência de sua reação química. A empresa monitora a temperatura em intervalos regulares, mas devido a limitações de seus sensores, há lacunas nos dados. A empresa deseja utilizar interpolação polinomial para estimar os valores de temperatura em momentos não monitorados, e também prever possíveis flutuações de temperatura para evitar acidentes.
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Tempo Temperatura
0 450
10 470
20 500
30 530
40 560
50 590
a) Encontre a taxa de variação de temperatura com o tempo e determine os pontos em que esta taxa é máxima ou minima
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator
Isole e calcule uma raiz de cada função, utilizando os métodos indicados na tabela.
Use precisão . Compare o número de iterações de cada método. Pode-se afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais?
Função Bisseção Cordas Newton
raiz n raiz n raiz n
Determine os coeficientes e da reta que passa pelos pontos e .
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e na equação e construa um sistema linear onde as incógnitas são e . Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use .