Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que f^prime(x) mantenha o sinal.
c) f(x)=x^3+x^2-3 x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente isolar pelo menos uma raiz da função . Além disso, precisamos escrever um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada mantenha o mesmo sinal. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, raízes de funções e derivadas pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma raiz da função f(1) = 1^3 + 1^2 - 3(1) - 3 = 1 + 1 - 3 - 3 = -4 neq 0 . Uma maneira fácil de começar é tentar valores inteiros para ver se algum deles anula a função.
Vamos testar f(2) = 2^3 + 2^2 - 3(2) - 3 = 8 + 4 - 6 - 3 = 3 neq 0 :
f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) - 3 = -1 + 1 + 3 - 3 = 0
Não é raiz.
Agora, :
Também não é raiz.
Vamos tentar :
Aí sim! é uma raiz da função.

Passo 3

Agora que encontramos f^prime(x) = ddx(x^3 + x^2 - 3x - 3) = 3x^2 + 2x - 3 como raiz, vamos determinar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada não muda de sinal.
Primeiro, calculamos a derivada da função:
Essa é a função derivada que vamos analisar.

Passo 4

Para garantir que f^prime(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 3(1) - 2 - 3 = 3 - 2 - 3 = -2 mantenha o mesmo sinal no intervalo escolhido, precisamos encontrar onde a derivada não muda de sinal perto da raiz f^prime(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 3(4) - 4 - 3 = 12 - 4 - 3 = 5 .
Vamos calcular f^prime(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 3 = 0 + 0 - 3 = -3 :
Então, . Agora, vamos ver o comportamento da derivada em um intervalo ao redor de , por exemplo, entre e .
Calculemos :
E :
Vemos que a derivada muda de sinal nesse intervalo. Então, vamos escolher um intervalo menor, por exemplo, entre e , e verificar novamente.

Passo 5

Vamos calcular f^prime(-1.5) = 3(-1.5)^2 + 2(-1.5) - 3 = 3(2.25) - 3 - 3 = 6.75 - 3 - 3 = 0.75 :
f^prime(-0.5) = 3(-0.5)^2 + 2(-0.5) - 3 = 3(0.25) - 1 - 3 = 0.75 - 1 - 3 = -3.25
E f^prime(-1.25) = 3(-1.25)^2 + 2(-1.25) - 3 = 3(1.5625) - 2.5 - 3 = 4.6875 - 2.5 - 3 = -0.8125 :
f^prime(-0.75) = 3(-0.75)^2 + 2(-0.75) - 3 = 3(0.5625) - 1.5 - 3 = 1.6875 - 1.5 - 3 = -2.8125
Ainda vemos mudança de sinal. Vamos reduzir mais o intervalo para a .
Calculemos :
E :
Agora, dentro desse intervalo , a derivada mantém o sinal negativo.

Resposta

Uma das raízes é . Um intervalo que contém essa raiz e onde mantém o sinal negativo é .

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