Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que
mantenha o sinal.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente isolar pelo menos uma raiz da função
. Além disso, precisamos escrever um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada
mantenha o mesmo sinal. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, raízes de funções e derivadas pra resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma raiz da função
. Uma maneira fácil de começar é tentar valores inteiros para ver se algum deles anula a função.
Vamos testar
:
Não é raiz.
Agora,
:
Também não é raiz.
Vamos tentar
:
Aí sim!
é uma raiz da função.
Passo 3
Agora que encontramos
como raiz, vamos determinar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada
não muda de sinal.
Primeiro, calculamos a derivada da função:
Essa é a função derivada que vamos analisar.
Passo 4
Para garantir que
mantenha o mesmo sinal no intervalo escolhido, precisamos encontrar onde a derivada não muda de sinal perto da raiz
.
Vamos calcular
:
Então,
. Agora, vamos ver o comportamento da derivada em um intervalo ao redor de
, por exemplo, entre
e
.
Calculemos
:
E
:
Vemos que a derivada muda de sinal nesse intervalo. Então, vamos escolher um intervalo menor, por exemplo, entre
e
, e verificar novamente.
Passo 5
Vamos calcular
:
E
:
Ainda vemos mudança de sinal. Vamos reduzir mais o intervalo para
a
.
Calculemos
:
E
:
Agora, dentro desse intervalo
, a derivada mantém o sinal negativo.
Resposta
Uma das raízes é
. Um intervalo que contém essa raiz e onde
mantém o sinal negativo é
.
Exercícios relacionados
Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se :
ou
.
a) Iguale
Uma empresa petroquímica utiliza um reator industrial que precisa operar dentro de uma faixa de temperatura controlada para manter a eficiência de sua reação química. A empresa monitora a temperatura em intervalos regulares, mas devido a limitações de seus sensores, há lacunas nos dados. A empresa deseja utilizar interpolação polinomial para estimar os valores de temperatura em momentos não monitorados, e também prever possíveis flutuações de temperatura para evitar acidentes.
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Tempo
|
Temperatura
|
---|---|
0 | 450 |
10 | 470 |
20 | 500 |
30 | 530 |
40 | 560 |
50 | 590 |
a) Encontre a taxa de variação de temperatura com o tempo e determine os pontos em que esta taxa é máxima ou minima
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator
Isole e calcule uma raiz de cada função, utilizando os métodos indicados na tabela.
Use precisão . Compare o número de iterações de cada método. Pode-se afirmar que existe um método definitivamente melhor que todos os demais?
Use precisão
Função | Bisseção | Cordas | Newton | |||
---|---|---|---|---|---|---|
raiz | n | raiz | n | raiz | n | |
|
||||||
|
||||||
|
Determine os coeficientes
e
da reta que passa pelos pontos
e
.
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e
na equação
e construa um sistema linear onde as incógnitas são
e
. Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use
.
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos